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Punto de control

5.1

a n = ( –1 ) n + 1 3 + 2 n a n = ( –1 ) n + 1 3 + 2 n

5.2

a n = 6 n 10 a n = 6 n 10

5.3

La secuencia converge y su límite es 0.0.

5.4

La secuencia converge y su límite es 2 /3.2 /3.

5.5

2 2

5.6

0 . 0 .

5.7

La serie diverge porque la k−ésimak−ésima suma parcial Sk>k.Sk>k.

5.8

10 . 10 .

5.9

5 / 7 5 / 7

5.10

475 / 90 475 / 90

5.11

e 1 e 1

5.12

La serie diverge.

5.13

La serie diverge.

5.14

La serie converge.

5.15

S51,09035,S51,09035, R5<0,00267R5<0,00267

5.16

La serie converge.

5.17

La serie diverge.

5.18

La serie converge.

5.19

0,04762 0,04762

5.20

La serie converge absolutamente.

5.21

La serie converge.

5.22

La serie converge.

5.23

La prueba de comparación porque 2 n/(3n+n)<2 n/3n2 n/(3n+n)<2 n/3n para todos los enteros positivos n.n. También podría utilizarse la prueba de comparación de límites.

Sección 5.1 ejercicios

1.

an=0an=0 si nn es impar y an=2 an=2 si nn es par

3.

{ a n } = { 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 ,… } { a n } = { 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 ,… }

5.

a n = n ( n + 1 ) 2 a n = n ( n + 1 ) 2

7.

a n = 4 n 7 a n = 4 n 7

9.

a n = 3,10 1 n = 30,10 n a n = 3,10 1 n = 30,10 n

11.

a n = 2 n 1 1 a n = 2 n 1 1

13.

a n = ( –1 ) n 1 2 n 1 a n = ( –1 ) n 1 2 n 1

15.

f ( n ) = 2 n f ( n ) = 2 n

17.

f ( n ) = n ! / 2 n 2 f ( n ) = n ! / 2 n 2

19.

Los términos oscilan por encima y por debajo de 5/35/3 y parecen converger a 5/3.5/3.

Este es un gráfico de una secuencia oscilante. Los términos oscilan por encima y por debajo de 5/3 y parecen converger a 5/3.
21.

Los términos oscilan por encima y por debajo de y1,57...y1,57... y parecen converger a un límite.

Este es un gráfico de la secuencia oscilante. Los términos oscilan por encima y por debajo de y = 1,57 y parecen converger a 1,57.
23.

7 7

25.

0 0

27.

0 0

29.

1 1

31.

delimitada, decreciente para n1n1

33.

delimitada, no monótona

35.

delimitada, decreciente

37.

no monótona, no delimitada

39.

anan es decreciente y está delimitada por debajo de 2 .2 . El límite aa debe satisfacer a=2 aa=2 a así que a=2 ,a=2 , independiente del valor inicial.

41.

0 0

43.

0:|senx||x|0:|senx||x| y |senx|1|senx|1 así que 1nan1n).1nan1n).

45.

El gráfico oscila y no sugiere ningún límite.

Se trata de un gráfico que oscila entre 1 y -1 de 0 a 25 en el eje x. Parece que no hay límite.
47.

n1/n1n1/n1 y 2 1/n1,2 1/n1, así que an0an0

49.

Dado que (1+1/n)ne,(1+1/n)ne, se tiene (12 /n)n(1+k)−2ke−2(12 /n)n(1+k)−2ke−2 como k.k.

51.

2 n+3n2 .3n2 n+3n2 .3n y 3n/4n03n/4n0 a medida que n,n, así que an0an0 a medida que n.n.

53.

an+1an=n!/(n+1)(n+2 )(2 n)an+1an=n!/(n+1)(n+2 )(2 n) =1.2 .3n(n+1)(n+2 )(2 n)<1/2 n.=1.2 .3n(n+1)(n+2 )(2 n)<1/2 n. En particular, an+1/an1/2 ,an+1/an1/2 , así que an0an0 a medida que n.n.

55.

xn+1=xn((xn1)2 2 )/2 (xn1);xn+1=xn((xn1)2 2 )/2 (xn1); x=1+2 ,x=1+2 , x2,4142,x2,4142, n=5n=5

57.

xn+1=xnxn(ln(xn)1);xn+1=xnxn(ln(xn)1); x=e,x=e, x2,7183,x2,7183, n=5n=5

59.

a. Sin pérdidas, la población obedecería Pn=1,06Pn1.Pn=1,06Pn1. La sustracción de 150150 contabiliza las pérdidas de peces. b. Después de 1212 meses, tenemos P121.494.P121.494.

61.

a. El estudiante debe $9.383$9.383 después de 1212 meses. b. El préstamo se pagará en su totalidad después de 139139 meses u once años y medio.

63.

b1=0,b1=0, x1=2 /3,x1=2 /3, b2 =1,b2 =1, x2 =4/31=1/3,x2 =4/31=1/3, para que el patrón se repita, y 1/3=0,010101.1/3=0,010101.

65.

Para los valores iniciales a1=1,a1=1, a2 =2 ,…,a2 =2 ,…, a1=10,a1=10, los correspondientes promedios de bits calculados por el método indicado son 0,5220,0,5220, 0,5000,0,5000, 0,4960,0,4960, 0,4870,0,4870, 0,4860,0,4860, 0,4680,0,4680, 0,5130,0,5130, 0,5210,0,5210, 0,5040,0,5040, y 0,4840.0,4840. Aquí hay un ejemplo de diez promedios correspondientes de cadenas de 1.0001.000 bits generados por un generador de números aleatorios 0,4880,0,4880, 0,4870,0,4870, 0,5150,0,5150, 0,5490,0,5490, 0,5130,0,5130, 0,5180,0,5180, 0,4860,0,4860, 0,5030,0,5030, 0,5050,0,5050, 0,4980.0,4980. No hay un patrón real en ninguno de los dos tipos de promedio. Los promedios generados por números aleatorios oscilan entre 0,48600,4860 y 0,5490,0,5490, un rango de 0,0630,0,0630, mientras que los promedios de bits de PRNG calculados oscilan entre 0,46800,4680 y 0,5220,0,5220, un rango de 0,0540.0,0540.

Sección 5.2 ejercicios

67.

n = 1 1 n n = 1 1 n

69.

n = 1 ( –1 ) n 1 n n = 1 ( –1 ) n 1 n

71.

1 , 3 , 6 , 10 1 , 3 , 6 , 10

73.

1 , 1 , 0 , 0 1 , 1 , 0 , 0

75.

an=SnSn1=1n11n.an=SnSn1=1n11n. La serie converge a S=1.S=1.

77.

an=SnSn1=nn1=1n1+n.an=SnSn1=nn1=1n1+n. La serie diverge porque las sumas parciales no están delimitadas.

79.

S1=1/3,S1=1/3, S2 =1/3+2 /4>1/3+1/3=2 /3,S2 =1/3+2 /4>1/3+1/3=2 /3, S3=1/3+2 /4+3/5>3.(1/3)=1.S3=1/3+2 /4+3/5>3.(1/3)=1. En general Sk>k/3.Sk>k/3. La serie diverge.

81.

S 1 = 1 / ( 2,3 ) = 1 / 6 = 2 / 3 1 / 2 , S 2 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) = 2 / 12 + 1 / 12 = 1 / 4 = 3 / 4 1 / 2 , S 3 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) + 1 / ( 4,5 ) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 = 3 / 10 = 4 / 5 1 / 2 , S 4 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) + 1 / ( 4,5 ) + 1 / ( 5,6 ) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 + 2 / 60 = 1 / 3 = 5 / 6 1 / 2 . S 1 = 1 / ( 2,3 ) = 1 / 6 = 2 / 3 1 / 2 , S 2 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) = 2 / 12 + 1 / 12 = 1 / 4 = 3 / 4 1 / 2 , S 3 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) + 1 / ( 4,5 ) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 = 3 / 10 = 4 / 5 1 / 2 , S 4 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) + 1 / ( 4,5 ) + 1 / ( 5,6 ) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 + 2 / 60 = 1 / 3 = 5 / 6 1 / 2 .

El patrón es Sk=(k+1)/(k+2 )1/2 Sk=(k+1)/(k+2 )1/2 y la serie converge a 1/2 .1/2 .

83.

0 0

85.

−3 −3

87.

diverge, n=1.0011nn=1.0011n

89.

series geométricas convergentes, r=1/10<1r=1/10<1

91.

series geométricas convergentes, r=π/e2 <1r=π/e2 <1

93.

n=15.(−1/5)n,n=15.(−1/5)n, converge a −5/6−5/6

95.

n=1100.(1/10)n,n=1100.(1/10)n, converge a 100/9100/9

97.

x n = 0 ( x ) n = n = 1 ( –1 ) n 1 x n x n = 0 ( x ) n = n = 1 ( –1 ) n 1 x n

99.

n=0(–1)nsen2 n(x)n=0(–1)nsen2 n(x) grandes.

101.

Sk=2 2 1/(k+1)1Sk=2 2 1/(k+1)1 como k.k.

103.

Sk=1k+1Sk=1k+1 diverge

105.

n=1lnnln(n+1),Sk=ln(k+1)n=1lnnln(n+1),Sk=ln(k+1) grandes.

107.

an=1lnn1ln(n+1)an=1lnn1ln(n+1) y Sk=1ln(2 )1ln(k+1)1ln(2 )Sk=1ln(2 )1ln(k+1)1ln(2 ) grandes.

109.

n=1an=f(1)f(2 )n=1an=f(1)f(2 ) grandes.

111.

c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = 0 c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = 0

113.

2 n31=1n12 n+1n+1,2 n31=1n12 n+1n+1, Sn=(11+1/3)+(1/2 2 /3+1/4)Sn=(11+1/3)+(1/2 2 /3+1/4) +(1/32 /4+1/5)+(1/42 /5+1/6)+=1/2 +(1/32 /4+1/5)+(1/42 /5+1/6)+=1/2

115.

tktk converge a 0,57721tk0,57721tk es una suma de rectángulos de altura 1/k1/k en el intervalo [k,k+1][k,k+1] que se encuentran por encima del gráfico de 1/x.1/x.

Este es un gráfico de una secuencia en el cuadrante uno que comienza cerca de 0 y parece converger a 0,57721.
117.

N=22,N=22, SN=6,1415SN=6,1415

119.

N=3,N=3, SN=1,559877597243667...SN=1,559877597243667...

121.

a. La probabilidad de cualquier secuencia ordenada de resultados para nn lanzamientos de monedas es 1/2 n.1/2 n. b. La probabilidad de salir cara por primera vez en el nn−ésimo lanzamiento es la probabilidad de la secuencia TTTHTTTH que es 1/2 n.1/2 n. La probabilidad de salir cara por primera vez en un lanzamiento par es n=11/2 2 nn=11/2 2 n o 1/3.1/3.

123.

5 / 9 5 / 9

125.

E=n=1n/2 n+1=1,E=n=1n/2 n+1=1, como puede demostrarse utilizando la suma por partes

127.

La parte de la primera dosis después de nn horas es drn,drn, la parte de la segunda dosis es drnN,drnN, y, en general, la parte que queda de la msimamsima dosis es drnmN,drnmN, así que

A ( n ) = l = 0 m d r n l N = l = 0 m d r k + ( m l ) N = q = 0 m d r k + q N = d r k q = 0 m r N q = d r k 1 r ( m + 1 ) N 1 r N , n = k + m N . A ( n ) = l = 0 m d r n l N = l = 0 m d r k + ( m l ) N = q = 0 m d r k + q N = d r k q = 0 m r N q = d r k 1 r ( m + 1 ) N 1 r N , n = k + m N .

129.

S N + 1 = a N + 1 + S N S N S N + 1 = a N + 1 + S N S N

131.

Dado que S>1,S>1, a2 >0,a2 >0, y dado que k<1,k<1, S2 =1+a2 <1+(S1)=S.S2 =1+a2 <1+(S1)=S. Si Sn>SSn>S para algún n, entonces hay un n más pequeño. Para este n, S>Sn1,S>Sn1, así que Sn=Sn1+k(SSn1)Sn=Sn1+k(SSn1) =kS+(1k)Sn1<S,=kS+(1k)Sn1<S, una contradicción. Así, Sn<SSn<S y an+1>0an+1>0 para todo n, por lo que SnSn es creciente y está delimitada por S.S. Supongamos que S=límSn.S=límSn. Si S<S,S<S, entonces δ=k(SS)>0,δ=k(SS)>0, pero podemos hallar n tal que S*Sn<δ/2 ,S*Sn<δ/2 , lo que implica que Sn+1=Sn+k(SSn)Sn+1=Sn+k(SSn) >S*+δ/2 ,>S*+δ/2 , lo que contradice que SnSn está aumentando a S.S. Así que SnS.SnS.

133.

Supongamos que Sk=n=1kanSk=n=1kan y SkL.SkL. Entonces SkSk finalmente se acerca arbitrariamente a L,L, lo que significa que LSN=n=N+1anLSN=n=N+1an se vuelve arbitrariamente pequeño a medida que N.N.

135.

L = ( 1 + 1 2 ) n = 1 1 / 2 n n = 3 2 . L = ( 1 + 1 2 ) n = 1 1 / 2 n n = 3 2 .

137.

En la primera fase, un cuadrado de área 1/91/9 se retira, en la etapa 2 2 se retiran 88 cuadrados de área 1/92 ,1/92 , en la tercera etapa se eliminan 82 82 cuadrados de área 1/93,1/93, y así sucesivamente. El área total eliminada después de NN etapas es n=0N18N/9N+1=18(1(8/9)N)/(18/9)1n=0N18N/9N+1=18(1(8/9)N)/(18/9)1

a medida que N.N. El perímetro total es 4+4n=08N/3N+1.4+4n=08N/3N+1.

Sección 5.3 ejercicios

139.

límnan=0.límnan=0. La prueba de divergencia no aplica.

141.

límnan=2 .límnan=2 . La serie diverge.

143.

límnan=límnan= (no existe). La serie diverge.

145.

límnan=1.límnan=1. La serie diverge.

147.

límnanlímnan no existe. La serie diverge.

149.

límnan=1/e2 .límnan=1/e2 . La serie diverge.

151.

límnan=0.límnan=0. La prueba de divergencia no aplica.

153.

La serie converge, p>1.p>1.

155.

La serie converge, p=4/3>1.p=4/3>1.

157.

La serie converge, p=2 eπ>1.p=2 eπ>1.

159.

La serie diverge por comparación con 1dx(x+5)1/3.1dx(x+5)1/3.

161.

La serie diverge por comparación con 1x1+x2 dx.1x1+x2 dx.

163.

La serie converge por comparación con 12 x1+x4dx.12 x1+x4dx.

165.

2 lnn=1/nln2 .2 lnn=1/nln2 . Dado que ln2 <1,ln2 <1, diverge por la serie pp.

167.

2 −2lnn=1/n2 ln2 .2 −2lnn=1/n2 ln2 . Dado que 2 ln2 1<1,2 ln2 1<1, diverge por la serie pp.

169.

R 1.000 1.000 d t t 2 = 1 t | 1.000 = 0,001 R 1.000 1.000 d t t 2 = 1 t | 1.000 = 0,001

171.

R 1.000 1.000 d t 1 + t 2 = tan −1 tan –1 ( 1.000 ) = π / 2 tan –1 ( 1.000 ) 0,000999 R 1.000 1.000 d t 1 + t 2 = tan −1 tan –1 ( 1.000 ) = π / 2 tan –1 ( 1.000 ) 0,000999

173.

R N < N d x x 2 = 1 / N , N > 10 4 R N < N d x x 2 = 1 / N , N > 10 4

175.

R N < N d x x 1,01 = 100 N −0,01 , N > 10 600 R N < N d x x 1,01 = 100 N −0,01 , N > 10 600

177.

R N < N d x 1 + x 2 = π / 2 tan –1 ( N ) , N > tan ( π / 2 10 −3 ) 1.000 R N < N d x 1 + x 2 = π / 2 tan –1 ( N ) , N > tan ( π / 2 10 −3 ) 1.000

179.

RN<Ndxex=eN,N>5ln(10),RN<Ndxex=eN,N>5ln(10), está bien si N=12;n=112en=0,581973....N=12;n=112en=0,581973.... La estimación coincide con 1/(e1)1/(e1) con cinco decimales.

181.

RN<Ndx/x4=1/3N3,N>(104/3)1/3,RN<Ndx/x4=1/3N3,N>(104/3)1/3, está bien si N=15;N=15;

n=1151/n4=1,08226.n=1151/n4=1,08226. La estimación coincide con la suma con precisión de tres decimales.

183.

ln ( 2 ) ln ( 2 )

185.

T = 0,5772 ... T = 0,5772 ...

187.

El número esperado de inserciones aleatorias para que BB llegue a la parte superior es n+n/2 +n/3++n/(n1).n+n/2 +n/3++n/(n1). Entonces una inserción más pone BB de nuevo en una posición aleatoria. Por lo tanto, el número esperado de barajadas para que el mazo quede distribuido de manera aleatoria es n(1+1/2 ++1/n).n(1+1/2 ++1/n).

189.

Establezca bn=an+Nbn=an+N y g(t)=f(t+N)g(t)=f(t+N) tal que ff es decreciente en [t,).[t,).

191.

La serie converge para p>1p>1 por la prueba de la integral utilizando el cambio de variable.

193.

N=ee100e1043N=ee100e1043 términos son necesarios.

Sección 5.4 ejercicios

195.

Converge por comparación con 1/n2 .1/n2 .

197.

Diverge por comparación con la serie armónica, dado que 2 n1n.2 n1n.

199.

an=1/(n+1)(n+2 )<1/n2 .an=1/(n+1)(n+2 )<1/n2 . Converge por comparación con la serie p, p=2 .p=2 .

201.

sen(1/n)1/n,sen(1/n)1/n, por lo que converge por comparación con la serie p, p=2 .p=2 .

203.

sen(1/n)1,sen(1/n)1, por lo que converge por comparación con la serie p, p=3/2 .p=3/2 .

205.

Dado que n+1n=1/(n+1+n)2 /n,n+1n=1/(n+1+n)2 /n, la serie converge por comparación con la serie p para p=1,5.p=1,5.

207.

Converge por comparación de límites con la serie p para p>1.p>1.

209.

Converge por comparación de límites con la serie p, p=2 .p=2 .

211.

Converge por comparación de límites con 4n.4n.

213.

Converge por comparación de límites con 1/e1,1n.1/e1,1n.

215.

Diverge por comparación de límites con la serie armónica.

217.

Converge por comparación de límites con la serie p, p=3.p=3.

219.

Converge por comparación de límites con la serie p, p=3.p=3.

221.

Diverge por comparación de límites con 1/n.1/n.

223.

Converge para p>1p>1 en comparación con una serie pp para un p un poco más pequeño p.p.

225.

Converge para todo p>0.p>0.

227.

Converge para todo r>1.r>1. Si r>1r>1 entonces rn>4,rn>4, digamos, una vez n>ln(2 )/ln(r)n>ln(2 )/ln(r) y entonces la serie converge por comparación de límites con una serie geométrica con razón 1/2 .1/2 .

229.

El numerador es igual a 11 cuando nn es impar y 00 cuando nn es par, por lo que la serie se puede reescribir n=112 n+1,n=112 n+1, que diverge por comparación de límites con la serie armónica.

231.

(ab)2 =a2 2 ab+b2 (ab)2 =a2 2 ab+b2 o a2 +b2 2 ab,a2 +b2 2 ab, por lo que la convergencia se deduce de la comparación de 2 anbn2 anbn con a2 n+b2 n. a2 n+b2 n. Como las sumas parciales de la izquierda están delimitadas por las de la derecha, la desigualdad se mantiene para la serie infinita.

233.

(lnn)lnn=eln(n)lnln(n).(lnn)lnn=eln(n)lnln(n). Si nn es lo suficientemente grande, entonces lnlnn>2 ,lnlnn>2 , tal que (lnn)lnn<1/n2 ,(lnn)lnn<1/n2 , y la serie converge por comparación con una serie .serie .

235.

an0,an0, así que a2 n|an|a2 n|an| para n.n. La convergencia se desprende de la comparación de límites. 1/n2 1/n2 converge, pero 1/n1/n no lo hace, por lo que el hecho de que n=1a2 nn=1a2 n converge no implica que n=1ann=1an converge.

237.

No. n=11/nn=11/n diverge. Supongamos que bk=0bk=0 a menos que k=n2 k=n2 para algunos n.n. Entonces kbk/k=1/k2 kbk/k=1/k2 converge.

239.

|sent||t|,|sent||t|, por lo que el resultado se desprende de la prueba de comparación.

241.

Por la prueba de comparación, x=n=1bn/2 nn=11/2 n=1x=n=1bn/2 nn=11/2 n=1

243.

Si b1=0,b1=0, entonces, en comparación, xn=2 1/2 n=1/2 .xn=2 1/2 n=1/2 .

245.

Sí. Siga añadiendo pesos de 1−kg1−kg hasta que la balanza se incline hacia el lado de los pesos. Si se equilibra perfectamente, con Robert de pie en el otro lado, deténgase. En caso contrario, elimine uno de los pesos de 1−kg1−kg y añada pesos de 0,1−kg0,1−kg uno a la vez. Si se equilibra después de añadir algunos de estos, deténgase. De lo contrario, si se inclina hacia los pesos, retire el último peso de 0,1−kg0,1−kg. Empiece a añadir pesos de 0,01−kg0,01−kg. Si se equilibra, deténgase. Si se inclina hacia el lado con los pesos, retire el último peso de 0,01−kg0,01−kg que se añadió. Continúe así para los pesos de 0,001−kg0,001−kg y así sucesivamente. Después de un número finito de pasos, se tiene una serie finita de la forma A+n=1Nsn/10nA+n=1Nsn/10n donde AA es el número de pesos completos en kg y dndn es el número de pesos de 1/10n−kg1/10n−kg que se añadieron. Si en algún estado esta serie es el peso exacto de Robert, el proceso se detendrá. En caso contrario, representa la enésimasimoenésimasimo suma parcial de una serie infinita que da el peso exacto de Robert, y el error de esta suma es como máximo 1/10N.1/10N.

247.

a. 10d10d1<10d10d10d1<10d b. h(d)<9dh(d)<9d c. m(d)=10d1+1m(d)=10d1+1 d. Agrupe los términos de la serie armónica eliminada por el número de dígitos h(d)h(d) delimita el número de términos, y cada término es como máximo 1/m(d).1/m(d). d=1h(d)/m(d)d=19d/(10)d190.d=1h(d)/m(d)d=19d/(10)d190. En realidad se puede utilizar la comparación para estimar el valor a menor que 80.80. El valor real es menor que 23.23.

249.

Siguiendo la pista, da SN=(1+1/N2 )(1+1/(N1)2 (1+1/4)).SN=(1+1/N2 )(1+1/(N1)2 (1+1/4)). Entonces ln(SN)=ln(1+1/N2 )+ln(1+1/(N1)2 )++ln(1+1/4).ln(SN)=ln(1+1/N2 )+ln(1+1/(N1)2 )++ln(1+1/4). Dado que ln(1+t)ln(1+t) está delimitada por una constante de t veces t,t, cuando 0<t<10<t<1 se tiene ln(SN)Cn=1N1n2 ,ln(SN)Cn=1N1n2 , que converge por comparación con la serie p para p=2 .p=2 .

Sección 5.5 ejercicios

251.

No converge por la prueba de divergencia. Los términos no tienden a cero.

253.

Converge condicionalmente por la prueba de series alternadas, dado que n+3/nn+3/n es decreciente. No converge absolutamente por comparación con la serie p, p=1/2 .p=1/2 .

255.

Converge absolutamente por comparación de límites a 3n/4n,3n/4n, por ejemplo.

257.

Diverge por la prueba de divergencia dado que límn|an|=e.límn|an|=e.

259.

No converge. Los términos no tienden a cero.

261.

límncos2 (1/n)=1.límncos2 (1/n)=1. Diverge por la prueba de divergencia.

263.

Converge por la prueba de series alternadas.

265.

Converge condicionalmente por la prueba de series alternadas. No converge absolutamente por comparación de límites con la serie p, p=πep=πe

267.

Diverge; los términos no tienden a cero.

269.

Converge por la prueba de series alternadas. No converge en absoluto por comparación de límites con la serie armónica.

271.

Converge absolutamente por comparación de límites con la serie p, p=3/2 ,p=3/2 , después de aplicar la pista.

273.

Converge por la prueba de series alternadas ya que n(tan–1(n+1)tan−1n)n(tan–1(n+1)tan−1n) es decreciente hasta cero para n n No converge absolutamente por comparación de límites con la serie armónica después de aplicar la pista.

275.

Converge absolutamente, ya que an=1n1n+1an=1n1n+1 son términos de una serie telescópica.

277.

Los términos no tienden a cero. La serie diverge por la prueba de divergencia.

279.

Converge por la prueba de series alternadas. No converge en absoluto por comparación de límites con la serie armónica.

281.

ln(N+1)>10,ln(N+1)>10, N+1>e10,N+1>e10, N22026;N22026; S22026=−0,9743S22026=−0,9743

283.

2 N+1>1062 N+1>106 o N+1>6ln(10)/ln(2 )=19,93.N+1>6ln(10)/ln(2 )=19,93. o N19;N19; S19=0,333333969S19=0,333333969

285.

(N+1)2 >106(N+1)2 >106 o N>999;N>999; S1.0000,822466.S1.0000,822466.

287.

Verdadero. bnbn no necesita tender a cero ya que si cn=bnlímbn,cn=bnlímbn, entonces c2 n1c2 n=b2 n1b2 n.c2 n1c2 n=b2 n1b2 n.

289.

Verdadero. b3n1b3n0,b3n1b3n0, por lo que la convergencia de b3n2 b3n2 se deduce de la prueba de comparación.

291.

Verdadero. Si una de ellas converge, la otro también debe hacerlo, lo que implica una convergencia absoluta.

293.

Sí. Tome bn=1bn=1 si an0an0 y bn=0bn=0 si an<0.an<0. Entonces n=1anbn=n:an0ann=1anbn=n:an0an converge. Del mismo modo, se puede mostrar que n:an<0ann:an<0an converge. Como ambas series convergen, la serie debe converger absolutamente.

295.

No disminuye. No converge absolutamente.

297.

No es alternada. Puede expresarse como n=1(13n2 +13n113n),n=1(13n2 +13n113n), que diverge en comparación con 13n2 .13n2 .

299.

Supongamos que a+n=ana+n=an si an0an0 y a+n=0a+n=0 si an<0.an<0. Entonces a+n|an|a+n|an| para todo nn por lo que la secuencia de sumas parciales de a+na+n es creciente y está delimitada por encima por la secuencia de sumas parciales de |an|,|an|, que converge; por esto, n=1a+nn=1a+n converge.

301.

Para N=5N=5 se tiene |RN|b6=θ10/10!.|RN|b6=θ10/10!. Cuando θ=1,θ=1, R51/10!2,75×10−7.R51/10!2,75×10−7. Cuando θ=π/6,θ=π/6, R5(π/6)10/10!4,26×10−10.R5(π/6)10/10!4,26×10−10. Cuando θ=π,θ=π, R5π10/10!=0,0258.R5π10/10!=0,0258.

303.

Supongamos que bn=1/(2 n2 )!.bn=1/(2 n2 )!. Entonces RN1/(2 N)!<0,00001RN1/(2 N)!<0,00001 cuando (2 N)!>105(2 N)!>105 o N=5N=5 y 112 !+14!16!+18!=0,540325,112 !+14!16!+18!=0,540325, mientras que cos1=0,5403023cos1=0,5403023

305.

Supongamos que T=1n2 .T=1n2 . Entonces TS=12 T,TS=12 T, así que S=T/2 .S=T/2 . 6×n=11.0001/n2 =3,140638;6×n=11.0001/n2 =3,140638; 12×n=11.000(–1)n1/n2 =3,141591;12×n=11.000(–1)n1/n2 =3,141591;

π=3,141592.π=3,141592. Las series alternadas son más precisas para 1.0001.000 términos.

307.

N=6,N=6, SN=0,9068SN=0,9068

309.

ln(2 ).ln(2 ). La 3enésimo3enésimo suma parcial es la misma que la de la serie armónica alternada.

311.

La serie salta rápidamente cerca de los puntos finales. Para xx lejos de los puntos finales, el gráfico tiene el siguiente aspecto π(1/2 x).π(1/2 x).

Esto muestra una función en los cuadrantes 1 y 4 que comienza en (0, 0), aumenta bruscamente hasta justo por debajo de 1,5 cerca del eje y, disminuye linealmente, cruza el eje x en 0,5, continúa disminuyendo linealmente, y aumenta bruscamente justo antes de 1 hasta 0.
313.

Este es un resultado típico. La curva superior está formada por sumas parciales de las series armónicas. La curva inferior representa sumas parciales de una serie armónica aleatoria.

Este muestra dos curvas. La parte superior es una curva cóncava creciente hacia abajo. La parte inferior es un gráfico de serie armónica irregular que se mantiene cerca de 0.
315.

Por la prueba de series alternadas, |SnS|bn+1,|SnS|bn+1, por lo que se necesitan 104104 términos de la serie armónica alternada para estimar ln(2 )ln(2 ) con una precisión de 0,0001.0,0001. Las primeras 1010 sumas parciales de la serie n=11n2 nn=11n2 n son (hasta cuatro decimales) 0,5000,0,6250,0,6667,0,6823,0,6885,0,6911,0,6923,0,6928,0,6930,0,69310,5000,0,6250,0,6667,0,6823,0,6885,0,6911,0,6923,0,6928,0,6930,0,6931 y la décima suma parcial está dentro de 0,00010,0001 de ln(2 )=0,6931.ln(2 )=0,6931.

Sección 5.6 ejercicios

317.

an+1/an0.an+1/an0. Converge.

319.

an+1an=12 (n+1n)2 1/2 <1.an+1an=12 (n+1n)2 1/2 <1. Converge.

321.

an+1an1/27<1.an+1an1/27<1. Converge.

323.

an+1an4/e2 <1.an+1an4/e2 <1. Converge.

325.

an+1an1.an+1an1. El criterio del cociente no es concluyente.

327.

anan+11/e2 .anan+11/e2 . Converge.

329.

(ak)1/k2 >1.(ak)1/k2 >1. Diverge.

331.

(an)1/n1/2 <1.(an)1/n1/2 <1. Converge.

333.

(ak)1/k1/e<1.(ak)1/k1/e<1. Converge.

335.

an1/n=1e+1n1e<1.an1/n=1e+1n1e<1. Converge.

337.

an1/n=(ln(1+lnn))(lnn)0an1/n=(ln(1+lnn))(lnn)0 por la regla de L'Hôpital. Converge.

339.

ak+1ak=12 k+10.ak+1ak=12 k+10. Converge por el criterio del cociente.

341.

(an)1/n1/e.(an)1/n1/e. Converge por el criterio de la raíz.

343.

ak1/kln(3)>1.ak1/kln(3)>1. Diverge por el criterio de la raíz.

345.

an+1an=an+1an= 32 n+12 3n2 +3n+10.32 n+12 3n2 +3n+10. Converge.

347.

Converge por el criterio de la raíz y la prueba de comparación de límites ya que xn2 .xn2 .

349.

Converge absolutamente por comparación de límites con la serie p,serie p, p=2 .p=2 .

351.

límnan=1/e2 0.límnan=1/e2 0. La serie diverge.

353.

Los términos no tienden a cero: ak1/2 ,ak1/2 , dado que sen2 x1.sen2 x1.

355.

an=2 (n+1)(n+2 ),an=2 (n+1)(n+2 ), que converge por comparación con la serie pserie p para p=2 .p=2 .

357.

ak=2 k1.2 k(2 k+1)(2 k+2 )3k(2 /3)kak=2 k1.2 k(2 k+1)(2 k+2 )3k(2 /3)k converge por comparación con la serie geométrica.

359.

akelnk2 =1/k2 .akelnk2 =1/k2 . La serie converge por comparación de límites con la serie p,serie p, p=2 .p=2 .

361.

Si bk=c1k/(c1)bk=c1k/(c1) y ak=k,ak=k, entonces bk+1bk=ckbk+1bk=ck y n=1kck=a1b1+1c1k=1ck=c(c1)2 .n=1kck=a1b1+1c1k=1ck=c(c1)2 .

363.

6 + 4 + 1 = 11 6 + 4 + 1 = 11

365.

| x | 1 | x | 1

367.

| x | < | x | <

369.

Todos los números reales pp mediante el criterio del cociente.

371.

r < 1 / p r < 1 / p

373.

0<r<1.0<r<1. Observe que los criterios del cociente y la raíz no son concluyentes. Utilizando la pista, hay 2 k2 k términos rnrn para k2 n<(k+1)2 ,k2 n<(k+1)2 , y para r<1r<1 cada término es de al menos rk.rk. Por lo tanto, n=1rn=k=1n=k2 (k+1)2 1rnn=1rn=k=1n=k2 (k+1)2 1rn k=12 krk,k=12 krk, que converge mediante el criterio del cociente para r<1.r<1. Para r1r1 la serie diverge por la prueba de divergencia.

375.

Se tiene a1=1,a1=1, a2 =a3=1/2 ,…a2 n=a2 n+1=1/2 n.a2 =a3=1/2 ,…a2 n=a2 n+1=1/2 n. El criterio del cociente no aplica porque an+1/an=1an+1/an=1 si nn es par. Sin embargo, an+2 /an=1/2 ,an+2 /an=1/2 , por lo que la serie converge según el ejercicio anterior. Por supuesto, la serie es solo una serie geométrica duplicada.

377.

a2 n/an=12 .n+1n+1+xn+2 n+2 +x2 n2 n+x.a2 n/an=12 .n+1n+1+xn+2 n+2 +x2 n2 n+x. La inversa del k−ésimok−ésimo factor es (n+k+x)/(n+k)>1+x/(2 n)(n+k+x)/(n+k)>1+x/(2 n) para que el producto sea menor que (1+x/(2 n))nex/2 .(1+x/(2 n))nex/2 . Por lo tanto, para x>0,x>0, a2 nan12 ex/2 .a2 nan12 ex/2 . La serie converge para x>0.x>0.

Ejercicios de repaso

379.

falso

381.

verdadero

383.

no delimitada, no monótona, divergente

385.

delimitada, monótona, convergente, 00

387.

no delimitada, no monótona, divergente

389.

diverge

391.

converge

393.

converge, pero no absolutamente

395.

converge absolutamente

397.

converge absolutamente

399.

1 2 1 2

401.

,, 0,0, x0x0

403.

S10383,S10383, límnSn=400límnSn=400

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