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Cálculo volumen 2

Conceptos clave

Cálculo volumen 2Conceptos clave

Conceptos clave

4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales

  • Una ecuación diferencial es una ecuación que implica una función y=f(x)y=f(x) y una o varias de sus derivadas. Una solución es una función y=f(x)y=f(x) que satisface la ecuación diferencial cuando ff y sus derivadas se sustituyen en la ecuación.
  • El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de cualquier derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación.
  • Una ecuación diferencial acoplada a un valor inicial se denomina problema de valor inicial. Para resolver un problema de valor inicial, primero hay que hallar la solución general de la ecuación diferencial y luego determinar el valor de la constante. Los problemas de valor inicial tienen muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería.

4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos

  • Un campo de direcciones es un objeto matemático utilizado para representar gráficamente las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden.
  • El método de Euler es una técnica numérica que puede utilizarse para aproximar soluciones a una ecuación diferencial.

4.3 Ecuaciones separables

  • Una ecuación diferencial separable es cualquier ecuación que puede escribirse en la forma y=f(x)g(y).y=f(x)g(y).
  • El método de separación de variables se utiliza para hallar la solución general de una ecuación diferencial separable.

4.4 La ecuación logística

  • Cuando se estudian las funciones de la población, diferentes supuestos (como el crecimiento exponencial, el crecimiento logístico o el umbral de población) conducen a diferentes tasas de crecimiento.
  • La ecuación diferencial logística incorpora el concepto de capacidad de carga. Este valor es un valor límite de la población para un ambiente determinado.
  • La ecuación diferencial logística puede resolverse para cualquier tasa de crecimiento positiva, población inicial y capacidad de carga.

4.5 Ecuaciones lineales de primer orden

  • Cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden puede escribirse en la forma y+p(x)y=q(x).y+p(x)y=q(x).
  • Podemos utilizar una estrategia de resolución de problemas en cinco pasos para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede o no incluir un valor inicial.
  • Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden incluyen determinar el movimiento de un objeto que se eleva o cae con resistencia del aire y calcular la corriente en un circuito eléctrico.
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