Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.1.1 Identificar el orden de una ecuación diferencial.
4.1.2 Explicar qué se entiende por solución de una ecuación diferencial.
4.1.3 Distinguir entre la solución general y la solución particular de una ecuación diferencial.
4.1.4 Identificar un problema de valor inicial.
4.1.5 Identificar si una función dada es una solución de una ecuación diferencial o un problema de valor inicial.

El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan mediante derivadas. Así, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es plantear una ecuación que contenga una función desconocida $y = f (x)$ y su derivada, conocida como ecuación diferencial. La resolución de estas ecuaciones suele proporcionar información sobre cómo cambian las cantidades y, con frecuencia, permite comprender cómo y por qué se producen los cambios.

Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden adoptar muchas formas diferentes, como la solución directa, el uso de gráficos o los cálculos por computadora. En este capítulo presentamos las ideas principales y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.

Ecuaciones diferenciales generales

Considere la ecuación $y^{'} = 3 x^{2},$ que es un ejemplo de ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables $x$ como $y : y$ es una función desconocida de $x .$ Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de $y .$ Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación de la siguiente manera: Comience con alguna función $y = f (x)$ y tome su derivada. La respuesta debe ser igual a $3 x^{2} .$ ¿Qué función tiene una derivada que es igual a $3 x^{2} ?$ Una de estas funciones es $y = x^{3},$ por lo que esta función se considera una solución a una ecuación diferencial.

Definición

Una ecuación diferencial es una ecuación que implica una función desconocida $y = f (x)$ y una o varias de sus derivadas. Una solución de una ecuación diferencial es una función $y = f (x)$ que satisface la ecuación diferencial cuando $f$ y sus derivadas se sustituyen en la ecuación.

Medios

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Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones aparecen en la Tabla 4.1.

Ecuación	Solución
$y' = 2 x$	$y = x^{2}$
$y' + 3 y = 6 x + 11$	$y = e^{−3 x} + 2 x + 3$
$y'' - 3 y' + 2 y = 24 e^{−2 x}$	$y = 3 e^{x} - 4 e^{2 x} + 2 e^{−2 x}$

Tabla 4.1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones

Observe que una solución de una ecuación diferencial no es necesariamente única, principalmente porque la derivada de una constante es cero. Por ejemplo, $y = x^{2} + 4$ es también una solución de la primera ecuación diferencial en la Tabla 4.1. Volveremos a esta idea un poco más adelante en esta sección. Por ahora, vamos a centrarnos en lo que significa que una función sea una solución de una ecuación diferencial.

Ejemplo 4.1

Verificación de soluciones de ecuaciones diferenciales

Verifique que la función $y = e^{−3 x} + 2 x + 3$ es una solución de la ecuación diferencial $y^{'} + 3 y = 6 x + 11 .$

Solución

Para verificar la solución, primero calculamos $y^{'}$ utilizando la regla de la cadena para las derivadas. Esto da $y^{'} = −3 e^{−3 x} + 2 .$ A continuación sustituimos $y$ y $y^{'}$ en el lado izquierdo de la ecuación diferencial:

(−3 e^{−3 x} + 2) + 3 (e^{−3 x} + 2 x + 3) .

La expresión resultante puede simplificarse distribuyendo primero para eliminar los paréntesis, dando

−3 e^{−3 x} + 2 + 3 e^{−3 x} + 6 x + 9 .

Combinando términos semejantes se obtiene la expresión $6 x + 11,$ que es igual al lado derecho de la ecuación diferencial. Este resultado verifica que $y = e^{−3 x} + 2 x + 3$ es una solución de la ecuación diferencial.

Punto de control 4.1

Verifique que $y = 2 e^{3 x} - 2 x - 2$ es una solución de la ecuación diferencial $y^{'} - 3 y = 6 x + 4 .$

Es conveniente definir características de las ecuaciones diferenciales que faciliten hablar de ellas y clasificarlas. La característica más básica de una ecuación diferencial es su orden.

Definición

El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de cualquier derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación.

Ejemplo 4.2

Identificación del orden de una ecuación diferencial

¿Cuál es el orden de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales?

$y^{'} - 4 y = x^{2} - 3 x + 4$
$x^{2} y ‴ - 3 x y ″ + x y^{'} - 3 y = sen x$
$\frac{4}{x} y^{(4)} - \frac{6}{x^{2}} y ″ + \frac{12}{x^{4}} y = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

Solución

La derivada más alta de la ecuación es $y^{'},$ por lo que el orden es $1 .$
La derivada más alta de la ecuación es $y ‴,$ por lo que el orden es $3 .$
La derivada más alta de la ecuación es $y^{(4)},$ por lo que el orden es $4 .$

Punto de control 4.2

¿Cuál es el orden de la siguiente ecuación diferencial?

(x^{4} - 3 x) y^{(5)} - (3 x^{2} + 1) y^{'} + 3 y = sen x cos x

Soluciones generales y particulares

Ya hemos señalado que la ecuación diferencial $y^{'} = 2 x$ tiene al menos dos soluciones: $y = x^{2}$ y $y = x^{2} + 4 .$ La única diferencia entre estas dos soluciones es el último término, que es una constante. ¿Y si el último término es una constante diferente? ¿Esta expresión seguirá siendo una solución de la ecuación diferencial? De hecho, cualquier función de la forma $y = x^{2} + C,$ donde $C$ representa cualquier constante, es también una solución. La razón es que la derivada de $x^{2} + C$ es $2 x,$ independientemente del valor de $C .$ Se puede demostrar que cualquier solución de esta ecuación diferencial debe ser de la forma $y = x^{2} + C .$ Este es un ejemplo de solución general de una ecuación diferencial. Un gráfico de algunas de estas soluciones se ofrece en la Figura 4.2. (Nota: En este gráfico hemos utilizado valores enteros pares para $C$ , que oscila entre $−4$ y $4 .$ De hecho, no hay ninguna restricción en el valor de $C;$ puede ser un número entero o no).

Gráfico de una familia de soluciones de la ecuación diferencial y' = 2 x, que son de la forma y = x ^ 2 + C. Se dibujan parábolas para los valores de C: -4, -2, 0, 2 y 4.

Figura 4.2 Familia de soluciones de la ecuación diferencial

y^{'} = 2 x .

En este ejemplo, somos libres de elegir cualquier solución que deseemos; por ejemplo, $y = x^{2} - 3$ es un miembro de la familia de soluciones de esta ecuación diferencial. Esto se llama una solución particular de la ecuación diferencial. A menudo se puede identificar una solución concreta de forma exclusiva si se nos da información adicional sobre el problema.

Ejemplo 4.3

Hallar una solución particular

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $y^{'} = 2 x$ que pasa por el punto $(2, 7) .$

Solución

Cualquier función de la forma $y = x^{2} + C$ es una solución de esta ecuación diferencial. Para determinar el valor de $C,$ sustituimos los valores $x = 2$ y $y = 7$ en esta ecuación y resolvemos para $C :$

\begin{matrix} y = x^{2} + C \\ 7 = 2^{2} + C = 4 + C \\ C = 3. \end{matrix}

Por lo tanto, la solución particular que pasa por el punto $(2, 7)$ es $y = x^{2} + 3 .$

Punto de control 4.3

Halle la solución particular de la ecuación diferencial

y^{'} = 4 x + 3

que pasa por el punto $(1, 7),$ dado que $y = 2 x^{2} + 3 x + C$ es una solución general de la ecuación diferencial.

Problemas de valor inicial

Normalmente, una ecuación diferencial dada tiene un número infinito de soluciones, por lo que es natural preguntarse cuál queremos utilizar. Para elegir una solución, se necesita más información. Una información específica que puede ser útil es un valor inicial, que es un par ordenado que se utiliza para hallar una solución particular.

Una ecuación diferencial con uno o varios valores iniciales se denomina problema de valor inicial. La regla general es que el número de valores iniciales necesarios para un problema de valor inicial es igual al orden de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si tenemos la ecuación diferencial $y^{'} = 2 x,$ entonces $y (3) = 7$ es un valor inicial, y cuando se toman juntas, estas ecuaciones forman un problema de valor inicial. La ecuación diferencial $y ″ - 3 y^{'} + 2 y = 4 e^{x}$ es de segundo orden, por lo que necesitamos dos valores iniciales. En los problemas de valor inicial de orden superior a uno, se debe utilizar el mismo valor para la variable independiente. Un ejemplo de valores iniciales para esta ecuación de segundo orden sería $y (0) = 2$ y $y^{'} (0) = −1 .$ Estos dos valores iniciales junto con la ecuación diferencial forman un problema de valor inicial. Estos problemas se llaman así porque a menudo la variable independiente de la función desconocida es $t,$ que representa el tiempo. Así, un valor de $t = 0$ representa el principio del problema.

Ejemplo 4.4

Verificación de la solución de un problema de valor inicial

Verifique que la función $y = 2 e^{−2 t} + e^{t}$ es una solución al problema de valor inicial

y^{'} + 2 y = 3 e^{t}, y (0) = 3 .

Solución

Para que una función satisfaga un problema de valor inicial, debe satisfacer tanto la ecuación diferencial como la condición inicial. Para demostrar que $y$ satisface la ecuación diferencial, empezamos por calcular $y^{'} .$ Esto da como resultado $y^{'} = −4 e^{−2 t} + e^{t} .$ A continuación sustituimos ambas $y$ y $y^{'}$ en el lado izquierdo de la ecuación diferencial y simplificamos:

\begin{matrix} y^{'} + 2 y & = (−4 e^{−2 t} + e^{t}) + 2 (2 e^{−2 t} + e^{t}) \\ = −4 e^{−2 t} + e^{t} + 4 e^{−2 t} + 2 e^{t} \\ = 3 e^{t} . \end{matrix}

Esto es igual al lado derecho de la ecuación diferencial, por lo que $y = 2 e^{−2 t} + e^{t}$ resuelve la ecuación diferencial. A continuación calculamos $y (0) :$

\begin{matrix} y (0) & = 2 e^{−2 (0)} + e^{0} \\ = 2 + 1 \\ = 3 . \end{matrix}

Este resultado verifica el valor inicial. Por lo tanto, la función dada satisface el problema de valor inicial.

Punto de control 4.4

Verifique que $y = 3 e^{2 t} + 4 sen t$ es una solución al problema de valor inicial

y^{'} - 2 y = 4 cos t - 8 sen t, y (0) = 3 .

En el Ejemplo 4.4, el problema de valor inicial constaba de dos partes. La primera parte era la ecuación diferencial $y^{'} + 2 y = 3 e^{x},$ y la segunda parte era el valor inicial $y (0) = 3 .$ Estas dos ecuaciones forman en conjunto el problema de valor inicial.

Lo mismo ocurre en general. Un problema de valor inicial constará de dos partes: la ecuación diferencial y la condición inicial. La ecuación diferencial tiene una familia de soluciones, y la condición inicial determina el valor de $C .$ La familia de soluciones de la ecuación diferencial en el Ejemplo 4.4 está dada por $y = 2 e^{−2 t} + C e^{t} .$ Esta familia de soluciones se muestra en la Figura 4.3, con la solución particular $y = 2 e^{−2 t} + e^{t}$ marcada.

Gráfico de una familia de soluciones de la ecuación diferencial y' + 2 y = 3 e ^ t, que son de la forma y = 2 e ^ (-2 t) + C e ^ t. Se muestran las versiones con C = 1, 0,5 y -0,2, entre otras no marcadas. Para todos los valores de C, la función aumenta rápidamente para t < 0 a medida que t va hacia el infinito negativo. Para C > 0, la función cambia de dirección y aumenta en una curva suave a medida que t llega al infinito. Los valores más grandes de C tienen una curva más ajustada, más cerca del eje y y con un valor y más alto. Para C = 0, la función va a 0 cuando t va al infinito. Para C < 0, la función sigue disminuyendo a medida que t llega al infinito.

Figura 4.3 Una familia de soluciones de la ecuación diferencial

y^{'} + 2 y = 3 e^{t} .

La solución particular

y = 2 e^{−2 t} + e^{t}

está marcada.

Ejemplo 4.5

Resolución de un problema de valor inicial

Resuelva el siguiente problema de valor inicial:

y^{'} = 3 e^{x} + x^{2} - 4, y (0) = 5 .

Solución

El primer paso para resolver este problema de valor inicial es hallar una familia general de soluciones. Para ello, calculamos una antiderivada de ambos lados de la ecuación diferencial

\int y^{'} d x = \int (3 e^{x} + x^{2} - 4) d x,

es decir,

y + C_{1} = 3 e^{x} + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C_{2} .

(4.1)

Podemos integrar ambos lados porque el término y aparece solo. Observe que hay dos constantes de integración $C_{1}$ y $C_{2} .$ Resolviendo la Ecuación 4.1 para $y$ da

y = 3 e^{x} + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C_{2} - C_{1} .

Debido a que $C_{1}$ y $C_{2}$ son ambas constantes, $C_{2} - C_{1}$ también es una constante. Por lo tanto, podemos definir $C = C_{2} - C_{1},$ lo que lleva a la ecuación

y = 3 e^{x} + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C .

A continuación, determinamos el valor de $C .$ Para ello, sustituimos $x = 0$ y $y = 5$ en la Ecuación 4.1 y resolvemos para $C :$

\begin{matrix} 5 & = & 3 e^{0} + \frac{1}{3} 0^{3} - 4 (0) + C \\ 5 & = & 3 + C \\ C & = & 2 . \end{matrix}

Ahora sustituimos el valor $C = 2$ en la Ecuación 4.1. La solución del problema de valor inicial es $y = 3 e^{x} + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 2 .$

Análisis

La diferencia entre una solución general y una solución particular es que una solución general implica una familia de funciones, definidas explícita o implícitamente, de la variable independiente. El valor o los valores iniciales determinan qué solución concreta de la familia de soluciones satisface las condiciones deseadas.

Punto de control 4.5

Resuelva el problema de valor inicial

y^{'} = x^{2} - 4 x + 3 - 6 e^{x}, y (0) = 8 .

En las aplicaciones de la física y la ingeniería, a menudo consideramos las fuerzas que actúan sobre un objeto y utilizamos esta información para comprender el movimiento resultante que puede producirse. Por ejemplo, si empezamos con un objeto en la superficie de la Tierra, la fuerza principal que actúa sobre ese objeto es la gravedad. Los físicos e ingenieros pueden utilizar esta información, junto con la segunda ley del movimiento de Newton (en forma de ecuación $F = m a,$ donde $F$ representa la fuerza, $m$ representa la masa y $a$ representa la aceleración), para derivar una ecuación que se pueda resolver.

Una imagen de una pelota de béisbol con una flecha por debajo apuntando hacia abajo. La flecha está marcada como g = –9,8 m/s ^ 2.

Figura 4.4 Para una pelota de béisbol que cae en el aire, la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad (sin tener en cuenta la resistencia del aire).

En la Figura 4.4 asumimos que la única fuerza que actúa sobre una pelota de béisbol es la fuerza de la gravedad. Esta suposición ignora la resistencia del aire (la fuerza debido a la resistencia del aire se considera en una discusión posterior). La aceleración debido a la gravedad en la superficie de la Tierra, $g,$ es, aproximadamente, $9,8 {m/s}^{2} .$ Introducimos un marco de referencia, donde la superficie de la Tierra está a una altura de 0 metros. Supongamos que $v (t)$ representa la velocidad del objeto en metros por segundo. Si $v (t) > 0,$ la pelota está subiendo, y si $v (t) < 0,$ la pelota está cayendo (Figura 4.5).

Una imagen de una pelota de béisbol con una flecha por encima apuntando hacia arriba y una flecha por debajo apuntando hacia abajo. La flecha que apunta hacia arriba está marcada como v(t) > 0, y la flecha que apunta hacia abajo está marcada como v(t) < 0.

Figura 4.5 Posibles velocidades de la pelota de béisbol que sube/baja.

Nuestro objetivo es resolver la velocidad $v (t)$ en cualquier tiempo $t .$ Para ello, planteamos un problema de valor inicial. Supongamos que la masa de la pelota es $m,$ donde $m$ se mide en kilogramos. Utilizamos la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza que actúa sobre un objeto es igual a su masa por su aceleración $(F = m a) .$ La aceleración es la derivada de la velocidad, por lo que $a (t) = v^{'} (t) .$ Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la pelota de béisbol está dada por $F = m v^{'} (t) .$ Sin embargo, esta fuerza debe ser igual a la fuerza de gravedad que actúa sobre el objeto, que (de nuevo utilizando la segunda ley de Newton) está dada por $F_{g} = − m g,$ ya que esta fuerza actúa en sentido descendente. Por lo tanto, obtenemos la ecuación $F = F_{g},$ que se convierte en $m v^{'} (t) = − m g .$ Dividiendo ambos lados de la ecuación entre $m$ da la ecuación

v^{'} (t) = − g .

Observe que esta ecuación diferencial sigue siendo la misma independientemente de la masa del objeto.

Ahora necesitamos un valor inicial. Como estamos resolviendo la velocidad, tiene sentido en el contexto del problema asumir que conocemos la velocidad inicial, o la velocidad en el momento $t = 0 .$ Esto se denota como $v (0) = v_{0} .$

Ejemplo 4.6

Velocidad de una pelota de béisbol en movimiento

Una pelota de béisbol se lanza hacia arriba desde una altura de $3$ metros sobre la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de $10 m/s,$ y la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. La pelota tiene una masa de $0,15 kg$ en la superficie de la Tierra.

Calcule la velocidad $v (t)$ de la pelota de béisbol en el momento $t .$
¿Cuál es su velocidad después de $2$ segundos?

Solución

A partir de la discusión anterior, la ecuación diferencial que se aplica en esta situación es

$v^{'} (t) = − g,$

donde $g = 9,8 {m/s}^{2} .$ La condición inicial es $v (0) = v_{0},$ donde $v_{0} = 10 m/s .$ Por lo tanto, el problema de valor inicial es $v^{'} (t) = −9,8 {m/s}^{2}, v (0) = 10 m/s .$
El primer paso para resolver este problema de valor inicial es tomar la antiderivada de ambos lados de la ecuación diferencial. Esto da

$\begin{matrix} \int v^{'} (t) d t & = & \int −9,8 d t \\ v (t) & = & −9,8 t + C . \end{matrix}$

El siguiente paso es resolver para $C .$ Para ello, sustituya $t = 0$ y $v (0) = 10 :$

$\begin{matrix} v (t) & = & −9,8 t + C \\ v (0) & = & −9,8 (0) + C \\ 10 & = & C . \end{matrix}$

Por lo tanto $C = 10$ y la función de la velocidad está dada por $v (t) = −9,8 t + 10 .$
Para calcular la velocidad después de $2$ segundos, sustituya $t = 2$ en $v (t) .$

$\begin{matrix} v (t) & = & −9,8 t + 10 \\ v (2) & = & −9,8 (2) + 10 \\ v (2) & = & −9,6. \end{matrix}$

Las unidades de velocidad son metros por segundo. Como la respuesta es negativa, el objeto está cayendo a una velocidad de $9,6 m/s .$

Punto de control 4.6

Supongamos que una roca cae en reposo desde una altura de $100$ metros y la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. Halle una ecuación para la velocidad $v (t)$ en función del tiempo, medida en metros por segundo.

Una pregunta natural que se hace después de resolver este tipo de problemas es a qué altura estará el objeto sobre la superficie de la Tierra en un momento determinado. Supongamos que $s (t)$ denota la altura sobre la superficie terrestre del objeto, medida en metros. Como la velocidad es la derivada de la posición (en este caso la altura), esta suposición da la ecuación $s^{'} (t) = v (t) .$ Es necesario un valor inicial; en este caso funciona bien la altura inicial del objeto. Supongamos que la altura inicial sea dada por la ecuación $s (0) = s_{0} .$ En conjunto, estas suposiciones dan el problema de valor inicial

s^{'} (t) = v (t), s (0) = s_{0} .

Si se conoce la función de velocidad, entonces es posible resolver también la función de posición.

Ejemplo 4.7

Altura de una pelota de béisbol en movimiento

Una pelota de béisbol se lanza hacia arriba desde una altura de $3$ metros sobre la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de $10 m/s,$ y la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. La pelota tiene una masa de $0,15$ kilos en la superficie de la Tierra.

Halle la posición $s (t)$ de la pelota de béisbol en el momento $t .$
¿Cuál es su altura después de $2$ segundos?

Solución

Ya sabemos que la función de velocidad para este problema es $v (t) = −9,8 t + 10 .$ La altura inicial de la pelota de béisbol es $3$ metros, así que $s_{0} = 3 .$ Por lo tanto, el problema de valor inicial para este ejemplo es
Para resolver el problema de valor inicial, primero calculamos las antiderivadas

$\begin{matrix} \int s^{'} (t) d t & = & \int −9,8 t + 10 d t \\ s (t) & = & −4,9 t^{2} + 10 t + C . \end{matrix}$

A continuación sustituimos $t = 0$ y resolvemos para $C :$

$\begin{matrix} s (t) & = & −4,9 t^{2} + 10 t + C \\ s (0) & = & −4,9 {(0)}^{2} + 10 (0) + C \\ 3 & = & C . \end{matrix}$

Por lo tanto, la función de posición es $s (t) = −4,9 t^{2} + 10 t + 3 .$
La altura de la pelota de béisbol después de $2 s$ está dado por $s (2) :$

$\begin{matrix} s (2) & = −4,9 {(2)}^{2} + 10 (2) + 3 \\ = −4,9 (4) + 23 \\ = 3,4. \end{matrix}$

Por lo tanto, la pelota de béisbol está a $3,4$ metros sobre la superficie de la Tierra después de $2$ segundos. Cabe destacar que la masa de la pelota se anula completamente en el proceso de resolución del problema.

Sección 4.1 ejercicios

Determine el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales.

1.

$y^{'} + y = 3 y^{2}$

2.

${(y^{'})}^{2} = y^{'} + 2 y$

3.

$y ‴ + y ″ y^{'} = 3 x^{2}$

4.

$y^{'} = y ″ + 3 t^{2}$

5.

$\frac{d y}{d t} = t$

6.

$\frac{d y}{d x} + \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 3 x^{4}$

7.

${(\frac{d y}{d t})}^{2} + 8 \frac{d y}{d t} + 3 y = 4 t$

Verifique que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial dada.

8.

$y = \frac{x^{3}}{3}$ resuelve $y^{'} = x^{2}$

9.

$y = 2 e^{– x} + x - 1$ resuelve $y^{'} = x - y$

10.

$y = e^{3 x} - \frac{e^{x}}{2}$ resuelve $y^{'} = 3 y + e^{x}$

11.

$y = \frac{1}{1 - x}$ resuelve $y^{'} = y^{2}$

12.

$y = e^{x^{2} / 2}$ resuelve $y^{'} = x y$

13.

$y = 4 + ln x$ resuelve $x y^{'} = 1$

14.

$y = 3 - x + x ln x$ resuelve $y^{'} = ln x$

15.

$y = 2 e^{x} - x - 1$ resuelve $y^{'} = y + x$

16.

$y = e^{x} + \frac{sen x}{2} - \frac{cos x}{2}$ resuelve $y^{'} = cos x + y$

17.

$y = π e^{− cos x}$ resuelve $y^{'} = y sen x$

Verifique las siguientes soluciones generales y halle la solución particular.

18.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $y^{'} = 4 x^{2}$ que pasa por $(−3, −30),$ dado que $y = C + \frac{4 x^{3}}{3}$ es una solución general.

19.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $y^{'} = 3 x^{3}$ que pasa por $(1, 4,75),$ dado que $y = C + \frac{3 x^{4}}{4}$ es una solución general.

20.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $y^{'} = 3 x^{2} y$ que pasa por $(0, 12),$ dado que $y = C e^{x^{3}}$ es una solución general.

21.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $y^{'} = 2 x y$ que pasa por $(0, \frac{1}{2}),$ dado que $y = C e^{x^{2}}$ es una solución general.

22.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $y^{'} = {(2 x y)}^{2}$ que pasa por $(1, - \frac{1}{2}),$ dado que $y = - \frac{3}{C + 4 x^{3}}$ es una solución general.

23.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $y^{'} x^{2} = y$ que pasa por $(1, \frac{2}{e}),$ dado que $y = C e^{− 1 / x}$ es una solución general.

24.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $8 \frac{d x}{d t} = −2 cos (2 t) - cos (4 t)$ que pasa por $(π, π),$ dado que $x = C - \frac{1}{8} sen (2 t) - \frac{1}{32} sen (4 t)$ es una solución general.

25.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $\frac{d u}{d t} = tan u$ que pasa por $(1, \frac{π}{2}),$ dado que $u = {sen}^{−1} (e^{C + t})$ es una solución general.

26.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $\frac{d y}{d t} = e^{(t + y)}$ que pasa por $(1, 0),$ dado que $y = − ln (C - e^{t})$ es una solución general.

27.

Halle la solución particular de la ecuación diferencial $y^{'} (1 - x^{2}) = 1 + y$ que pasa por $(0, –2),$ dado que $y = C \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}} - 1$ es una solución general.

Para los siguientes problemas, halle la solución general de la ecuación diferencial.

28.

$y^{'} = 3 x + e^{x}$

29.

$y^{'} = ln x + tan x$

30.

$y^{'} = sen x e^{cos x}$

31.

$y^{'} = 4^{x}$

32.

$y^{'} = {sen}^{−1} (2 x)$ grandes.

33.

$y^{'} = 2 t \sqrt{t^{2} + 16}$

34.

$x^{'} = coth t + ln t + 3 t^{2}$

35.

$x^{'} = t \sqrt{4 + t}$

36.

$y^{'} = y$

37.

$y^{'} = \frac{y}{x}$

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial con la condición inicial $y (0) = 1$ y $y (0) = −1 .$ Dibuje ambas soluciones en el mismo gráfico.

38.

$\frac{d y}{d t} = 2 t$

39.

$\frac{d y}{d t} = − t$

40.

$\frac{d y}{d t} = 2 y$

41.

$\frac{d y}{d t} = − y$

42.

$\frac{d y}{d t} = 2$

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial con la condición inicial $y_{0} = 10 .$ ¿En qué tiempo $y$ aumenta a $100$ o baja a $1 ?$

43.

$\frac{d y}{d t} = 4 t$

44.

$\frac{d y}{d t} = 4 y$

45.

$\frac{d y}{d t} = –2 y$

46.

$\frac{d y}{d t} = e^{4 t}$

47.

$\frac{d y}{d t} = e^{−4 t}$

Recuerde que una familia de soluciones incluye soluciones de una ecuación diferencial que difieren en una constante. Para los siguientes problemas, utilice su calculadora para graficar una familia de soluciones de la ecuación diferencial dada. Utilice las condiciones iniciales de $y (t = 0) = −10$ a $y (t = 0) = 10$ aumentando en $2 .$ ¿Hay algún punto crítico en el que el comportamiento de la solución empiece a cambiar?

48.

[T] $y^{'} = y (x)$

49.

[T] $x y^{'} = y$

50.

[T] $y^{'} = t^{3}$

51.

[T] $y^{'} = x + y$ (Pista: $y = C e^{x} - x - 1$ es la solución general)

52.

[T] $y^{'} = x ln x + sen x$

53.

Halle la solución general para describir la velocidad de una pelota de masa $1 lb$ que se lanza hacia arriba a una velocidad $a$ ft/s.

54.

En el problema anterior, si la velocidad inicial de la pelota lanzada al aire es $a = 25$ ft/s, escriba la solución particular de la velocidad de la pelota. Resuelva para calcular el momento en que la pelota toca el suelo.

55.

Se lanzan dos objetos con masas diferentes $m_{1}$ y $m_{2}$ hacia arriba en el aire con la misma velocidad inicial $a$ ft/s. ¿Cuál es la diferencia en su velocidad después de $1$ segundo?

56.

[T] Se lanza una pelota de masa $1$ kilogramo hacia arriba con una velocidad de $a = 25$ m/s en Marte, donde la fuerza de gravedad es $g = −3,711$ m/s². Utilice su calculadora para aproximar cuánto tiempo más está la pelota en el aire en Marte a comparación de en la Tierra, donde . $g = - 9.8 m / s^{2}$ .

57.

[T] Para el problema anterior, utilice su calculadora para aproximar cuánto más subió la pelota en Marte, donde $g = - 9.8 m / s^{2}$ .

58.

[T] Un automóvil en la autopista acelera según $a = 15 cos (π t),$ donde $t$ se mide en horas. Plantee y resuelva la ecuación diferencial para determinar la velocidad del automóvil si tiene una velocidad inicial de $51$ mph. Después de $40$ minutos de conducción, ¿cuál es la velocidad del conductor?

59.

[T] Para el automóvil del problema anterior, halle la expresión de la distancia que ha recorrido el automóvil en el tiempo $t,$ suponiendo una distancia inicial de $0 .$ ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en recorrer $100$ millas? Redondee su respuesta a horas y minutos.

60.

[T] Para el problema anterior, calcule la distancia total recorrida en la primera hora.

61.

Sustituya $y = B e^{3 t}$ en $y^{'} - y = 8 e^{3 t}$ para hallar una solución particular.

62.

Sustituya $y = a cos (2 t) + b sen (2 t)$ en $y^{'} + y = 4 sen (2 t)$ para hallar una solución particular.

63.

Sustituya $y = a + b t + c t^{2}$ en $y^{'} + y = 1 + t^{2}$ para hallar una solución particular.

64.

Sustituya $y = a e^{t} cos t + b e^{t} sen t$ en $y^{'} = 2 e^{t} cos t$ para hallar una solución particular.

65.

Resuelva $y^{'} = e^{k t}$ con la condición inicial $y (0) = 0$ y resuelva $y^{'} = 1$ con la misma condición inicial. A medida que $k$ se acerca a $0,$ ¿qué observa?

4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales generales

Verificación de soluciones de ecuaciones diferenciales

Solución

Identificación del orden de una ecuación diferencial

Solución

Soluciones generales y particulares

Hallar una solución particular

Solución

Problemas de valor inicial

Verificación de la solución de un problema de valor inicial

Solución

Resolución de un problema de valor inicial

Solución

Análisis

Velocidad de una pelota de béisbol en movimiento

Solución

Altura de una pelota de béisbol en movimiento

Solución

Sección 4.1 ejercicios