Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.2.1 Determinar el volumen de un sólido integrando una sección transversal (método de las rebanadas).
2.2.2 Hallar el volumen de un sólido de revolución utilizando el método de los discos.
2.2.3 Halle el volumen de un sólido de revolución con una cavidad utilizando el método de las arandelas.

En la sección anterior, utilizamos las integrales definidas para hallar el área entre dos curvas. En esta sección, utilizaremos las integrales definidas para hallar los volúmenes de los sólidos tridimensionales. Consideraremos tres enfoques —rebanadas, discos y arandelas— para hallar estos volúmenes en función de las características del sólido.

El volumen y el método de las rebanadas

Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros ha calculado los volúmenes de los sólidos utilizando fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, puede calcularse multiplicando la longitud, la anchura y la altura $V = l w h .$ Las fórmulas del volumen de una esfera $(V = \frac{4}{3} π r^{3}),$ un cono $(V = \frac{1}{3} π r^{2} h),$ y una pirámide $(V = \frac{1}{3} A h)$ también se ha introducido. Aunque algunas de estas fórmulas se derivaron utilizando únicamente la geometría, todas ellas pueden obtenerse utilizando la integración.

También podemos calcular el volumen de un cilindro. Aunque la mayoría de nosotros piensa que un cilindro tiene una base circular, como una lata de sopa o una barra de metal, en matemáticas la palabra cilindro tiene un significado más general. Para hablar de los cilindros en ese contexto más general, antes tenemos que definir algunos términos.

Definimos la sección transversal de un sólido como la intersección de un plano con el sólido. Se define un cilindro como cualquier sólido que se genera trasladando una región plana a lo largo de una línea perpendicular a la región, denominada eje del cilindro. Así, todas las secciones transversales perpendiculares al eje de un cilindro son idénticas. El sólido mostrado en la Figura 2.11 es un ejemplo de cilindro con base no circular. Entonces, para calcular el volumen de un cilindro basta con multiplicar el área de la sección transversal por la altura del cilindro: $V = A . h .$ En el caso de un cilindro circular recto (como una lata de sopa), esto se convierte en $V = π r^{2} h .$

Este gráfico tiene dos figuras. La primera figura es la mitad de un cilindro, en la parte plana. El cilindro tiene una línea que pasa por el centro marcada como "x". Al cortar verticalmente el cilindro, hay un plano perpendicular a la línea. La segunda figura es una sección transversal bidimensional del cilindro que interseca el plano. Es un semicírculo.

Figura 2.11 Cada sección transversal de un cilindro concreto es idéntica a las demás.

Si un sólido no tiene una sección transversal constante (y no es uno de los otros sólidos básicos), puede que no tengamos una fórmula para su volumen. En ese caso, podemos utilizar una integral definida para calcular el volumen de ese sólido. Para ello, rebanamos el sólido, estimamos el volumen de cada rebanada y luego sumamos esos volúmenes estimados. Las rebanadas deben ser todas paralelas entre sí, y cuando las juntamos todas, deberíamos obtener el sólido completo. Consideremos, por ejemplo, el sólido S que se muestra en la Figura 2.12, que se extiende a lo largo del eje $x .$

Esta figura es un gráfico de un sólido tridimensional. Tiene una arista a lo largo del eje x. El eje x forma parte del sistema de coordenadas bidimensional con el eje y marcado. La arista del sólido a lo largo del eje x comienza en un punto marcado como "a" y se detiene en un punto marcado como "b".

Figura 2.12 Sólido con una sección transversal variable.

Queremos dividir $S$ en rodajas perpendiculares al eje $x .$ Como veremos más adelante en el capítulo, puede haber ocasiones en las que queramos cortar el sólido en alguna otra dirección, por ejemplo, en cortes perpendiculares al eje y. La elección de cómo cortar el sólido es muy importante. Si nos equivocamos, los cálculos pueden ser bastante complicados. Más adelante en este capítulo, examinaremos algunas de estas situaciones en detalle y veremos cómo elegir la dirección para cortar el sólido. Sin embargo, a efectos de esta sección, utilizamos cortes perpendiculares al eje $x .$

Ya que el área de la sección transversal no es constante, suponemos que $A (x)$ representa el área de la sección transversal en el punto $x .$ Ahora supongamos que $P = {x_{0}, x_{1} …, X_{n}}$ es una partición regular de $[a, b],$ y para $i = 1, 2,… n,$ supongamos que $S_{i}$ representan la porción de $S$ que se extiende desde $x_{i - 1} para x_{i} .$ La siguiente figura muestra el sólido cortado con $n n = 3 .$

Figura 2.13 El sólido

S

se dividió en tres cortes perpendiculares al eje

x .

Por último, para $i = 1, 2,… n,$ supongamos que $x_{i}^{*}$ es un punto arbitrario en $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ Entonces el volumen de la rebanada $S_{i}$ se puede estimar mediante $V (S_{i}) \approx A (x_{i}^{*}) Δ x .$ Sumando estas aproximaciones, vemos que el volumen de todo el sólido $S$ puede aproximarse por

V (S) \approx \sum_{i = 1}^{n} A (x_{i}^{*}) Δ x .

A estas alturas, podemos reconocer esto como una suma de Riemann, y nuestro siguiente paso es tomar el límite como $n \to \infty .$ Entonces tenemos

V (S) = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} A (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} A (x) d x .

La técnica que acabamos de describir se llama método de las rebanadas. Para aplicarlo, utilizamos la siguiente estrategia.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Búsqueda de volúmenes por el método de las rebanadas

Examine el sólido y determine la forma de una sección transversal del mismo. A menudo es útil hacer un dibujo si no lo tiene.
Determine una fórmula para el área de la sección transversal.
Integre la fórmula del área sobre el intervalo apropiado para obtener el volumen.

Recordemos que en esta sección suponemos que los cortes son perpendiculares al eje $x .$ Por lo tanto, la fórmula del área está en términos de x y los límites de integración se encuentran en el eje $x .$ Sin embargo, la estrategia de resolución de problemas mostrada aquí es válida independientemente de cómo decidamos cortar el sólido.

Ejemplo 2.6

Derivación de la fórmula del volumen de una pirámide

Sabemos por la geometría que la fórmula del volumen de una pirámide es $V = \frac{1}{3} A h .$ Si la pirámide tiene una base cuadrada, esto se convierte en $V = \frac{1}{3} a^{2} h,$ donde $a$ indica la longitud de un lado de la base. Utilicemos el método de las rebanadas para derivar esta fórmula.

Solución

Queremos aplicar ese método a una pirámide de base cuadrada. Para establecer la integral, considere la pirámide mostrada en la Figura 2.14, orientada a lo largo del eje $x .$

Esta figura tiene dos gráficos. El primero, marcado como "a", es una pirámide de lado. El eje x pasa por el centro de la pirámide. El punto de la cima de la pirámide está en el origen del sistema de coordenadas x y. La base de la pirámide está sombreada y marcada como "a". En el interior de la pirámide hay un rectángulo sombreado marcado como "s". La distancia del eje y a la base de la pirámide se denomina "h". La distancia del rectángulo interior de la pirámide al eje y se denomina "x". El segundo gráfico es una sección transversal de la pirámide con los ejes x y y marcados. La sección transversal es un triángulo con un lado marcado como "a", perpendicular al eje x. La distancia de a desde el eje y es h. Hay otra línea perpendicular al eje x dentro del triángulo. Está marcada como "s". Tiene x unidades desde el eje y.

Figura 2.14 (a) Una pirámide de base cuadrada está orientada a lo largo del eje x. (b) Hay una vista bidimensional de la pirámide desde un lado.

Primero queremos determinar la forma de una sección transversal de la pirámide. Sabemos que la base es un cuadrado, por lo que las secciones transversales también son cuadradas (paso 1). Ahora queremos determinar una fórmula para el área de uno de estos cuadrados de la sección transversal. Al observar la Figura 2.14(b), y usando una proporción, ya que son triángulos similares, tenemos

\frac{s}{a} = \frac{x}{h} o s = \frac{a x}{h} .

Por lo tanto, el área de uno de los cuadrados del corte transversal es

A (x) = s^{2} = {(\frac{a x}{h})}^{2} (paso 2) .

Entonces encontramos el volumen de la pirámide integrando desde $0 para h$ (paso $3) :$

\begin{matrix} V & = \int_{0}^{h} A (x) d x \\ = \int_{0}^{h} {(\frac{a x}{h})}^{2} d x = \frac{a^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} d x \\ = {[\frac{a^{2}}{h^{2}} (\frac{1}{3} x^{3})] |}_{0}^{h} = \frac{1}{3} a^{2} h . \end{matrix}

Esta es la fórmula que buscábamos.

Punto de control 2.6

Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ para el volumen de un cono circular.

Sólidos de revolución

Si una región en un plano se hace girar alrededor de una línea en ese plano, el sólido resultante se llama sólido de revolución, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene tres gráficos. El primer gráfico, marcado como "a", es una región en el plano x y. La región se crea por una curva sobre el eje x y el eje x. El segundo gráfico, marcado como "b" es la misma región que en "a", pero muestra la región que empieza a girar alrededor del eje x. El tercer gráfico, marcado como "c", es el sólido que se forma al girar la región de "a" completamente alrededor del eje x, formando un sólido.

Figura 2.15 (a) Esta es la región que gira alrededor del eje x. (b) A medida que la región comienza a girar alrededor del eje, forma un sólido de revolución. (c) Este es el sólido que resulta cuando se completa la revolución.

Los sólidos de revolución son comunes en aplicaciones mecánicas, como las piezas de máquinas producidas por un torno. Dedicaremos el resto de esta sección a estudiar este tipo de sólidos. El siguiente ejemplo utiliza el método de las rebanadas para calcular el volumen de un sólido de revolución.

Medios

Utilice una calculadora de integrales en línea para saber más.

Ejemplo 2.7

Uso del método de las rebanadas para hallar el volumen de un sólido de revolución

Utilice el método de las rebanadas para hallar el volumen del sólido de revolución delimitado por las gráficos de $f (x) = x^{2} - 4 x + 5, x = 1, y x = 4,$ y con rotación alrededor del eje $x .$

Solución

Utilizando la estrategia de resolución de problemas, primero dibujamos el gráfico de la función cuadrática sobre el intervalo $[1, 4]$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta es un gráfico de la parábola f(x)=x^2-4x+5. La parábola es la parte superior de una región sombreada sobre el eje x. La región está limitada a la izquierda por una línea en x=1 y a la derecha por una línea en x=4.

Figura 2.16 Una región utilizada para producir un sólido de revolución.

A continuación, gire la región alrededor del eje x, como se muestra en la siguiente figura.

Esta tiene dos gráficos de la parábola f(x)=x^2-4x+5. La parábola es la parte superior de una región sombreada sobre el eje x. La región está limitada a la izquierda por una línea en x=1 y a la derecha por una línea en x=4. El primer gráfico tiene un sólido sombreado debajo de la parábola, que se ha formado al girar la parábola alrededor del eje x. El segundo gráfico es el mismo que el primero, con el sólido girado para mostrar el sólido.

Figura 2.17 Dos vistas, (a) y (b), del sólido de revolución producido al girar la región en la Figura 2.16 alrededor del

x .

Como el sólido se formó al girar la región alrededor del eje $x −eje,$ las secciones transversales son círculos (paso 1). El área de la sección transversal, entonces, es el área de un círculo, y el radio del círculo viene dado por $f (x) .$ Utilice la fórmula del área del círculo:

A (x) = π r^{2} = π {[f (x)]}^{2} = π {(x^{2} - 4 x + 5)}^{2} (paso 2) .

El volumen, entonces, es (paso 3)

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} A (x) d x \\ = \int_{1}^{4} π {(x^{2} - 4 x + 5)}^{2} d x = π \int_{1}^{4} (x^{4} - 8 x^{3} + 26 x^{2} - 40 x + 25) d x \\ = {π (\frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + \frac{26 x^{3}}{3} - 20 x^{2} + 25 x) |}_{1}^{4} = \frac{78}{5} π . \end{matrix}

El volumen es $78 π / 5 .$

Punto de control 2.7

Utilice el método de las rebanadas para hallar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región comprendida entre el gráfico de la función $f (x) = 1 / x$ y el eje $x$ en el intervalo $[1, 2]$ alrededor del eje $x .$ Vea la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primero es la curva f(x)=1/x. Es una curva decreciente, por encima del eje x en el primer cuadrante. El gráfico tiene una región sombreada bajo la curva entre x=1 y x=2. La segundo gráfico es la curva f(x)=1/x en el primer cuadrante. Además, debajo de este gráfico, hay un sólido entre x=1 y x=2 que se ha formado girando la región del primer gráfico alrededor del eje x.

El método del disco

Cuando utilizamos el método de las rebanadas con sólidos de revolución, se suele denominar método de los discos porque los cortes utilizados para sobre aproximar el volumen de esos sólidos son discos. Para ver esto, considere el sólido de revolución generado al girar la región entre el gráfico de la función $f (x) = {(x - 1)}^{2} + 1$ y la intersección en $x$ en el intervalo $[−1, 3]$ alrededor del eje $x .$ El gráfico de la función y un disco representativo se muestran en la Figura 2.18(a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la Figura 2.18(c) y (d).

Esta figura tiene cuatro gráficos. El primer gráfico, marcado como "a", es una parábola f(x)=(x-1)^2+1. La curva está por encima del eje x y corta el eje y en y=2. Debajo de la curva en el primer cuadrante hay un rectángulo vertical que comienza en el eje x y se detiene en la curva. El segundo gráfico, marcado como "b", es la misma parábola del primer gráfico. El rectángulo bajo la parábola del primer gráfico se ha girado alrededor del eje x formando un disco sólido. El tercer gráfico, marcado como "c", es la misma parábola que en el primer gráfico. Hay una región sombreada delimitada arriba por la parábola, a la izquierda por la línea x = –1, a la derecha por la línea x = 3 y abajo por el eje x. El cuarto gráfico marcado como "d" es la misma parábola que en el primer gráfico. La región del tercer gráfico ha girado alrededor del eje x para formar un sólido.

Figura 2.18 (a) Un rectángulo delgado para aproximar el área bajo una curva. (b) Un disco representativo formado al girar el rectángulo alrededor del

x .

(c) La región bajo la curva gira en torno del

x,

dando como resultado (d) el sólido de revolución.

Ya utilizamos el desarrollo formal de la suma de Riemann de la fórmula del volumen al desarrollar el método de las rebanadas. Sabemos que

V = \int_{a}^{b} A (x) d x .

La única diferencia con el método de los discos es que conocemos de antemano la fórmula del área de la sección transversal, que es el área de un círculo. Esto da la siguiente regla.

Regla: el método del disco

Supongamos que $f (x)$ es continua y no negativa. Defina $R$ como la región delimitada arriba por el gráfico de $f (x),$ abajo por el eje $x −eje,$ a la izquierda por la línea $x = a,$ y a la derecha por la línea $x = b .$ Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ alrededor del eje $x$ viene dada por

V = \int_{a}^{b} π {[f (x)]}^{2} d x .

(2.3)

El volumen del sólido que hemos estudiado (Figura 2.18) viene dado por

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} π {[f (x)]}^{2} d x \\ = \int_{–1}^{3} π {[{(x - 1)}^{2} + 1]}^{2} d x = π \int_{–1}^{3} [{(x - 1)}^{4} + 2 {(x - 1)}^{2} + 1] d x \\ = π {[\frac{1}{5} {(x - 1)}^{5} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + x] |}_{−1}^{3} = π [(\frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 3) - (- \frac{32}{5} - \frac{16}{3} - 1)] = \frac{412 π}{15} {al cuadrado}^{3} . \end{matrix}

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.8

Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 1

Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de $f (x) = \sqrt{x}$ y el eje $x$ en el intervalo $[1, 4]$ alrededor del eje $x .$

Solución

Los gráficos de la función y del sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico está marcado como "a", y es la curva f(x) = raíz cuadrada(x). Es una curva creciente sobre el eje x. La curva está en el primer cuadrante. Debajo de la curva hay una región delimitada por x=1 y x=4. El fondo de la región es el eje x. El segundo gráfico marcado como "b" es la misma curva que el primer gráfico. La región sólida del primer gráfico ha girado alrededor del eje x para formar una región sólida.

Figura 2.19 (a) La función

f (x) = \sqrt{x}

en el intervalo

[1, 4] .

b) El sólido de revolución obtenido al girar la región bajo el gráfico de

f (x)

alrededor del eje

x .

Tenemos

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} π {[f (x)]}^{2} d x \\ = \int_{1}^{4} π {[\sqrt{x}]}^{2} d x = π \int_{1}^{4} x d x \\ = {\frac{π}{2} x^{2} |}_{1}^{4} = \frac{15 π}{2} . \end{matrix}

El volumen es $(15 π) / 2$ unidades³.

Punto de control 2.8

Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de $f (x) = \sqrt{4 - x}$ y el eje $x$ en el intervalo $[0, 4]$ alrededor del eje $x .$

Hasta ahora, todos nuestros ejemplos se referían a regiones que giraban en torno al eje $x −eje,$ pero podemos generar un sólido de revolución haciendo girar una región plana alrededor de cualquier línea horizontal o vertical. En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución que se ha generado girando una región alrededor del eje $y .$ La mecánica del método de los discos es casi la misma que cuando el eje $x$ es el eje de revolución, pero expresamos la función en términos de $y$ y también integramos con respecto a y. Esto se resume en la siguiente regla.

Regla: método de los discos para sólidos de revolución alrededor del eje y

Supongamos que $g (y)$ es continua y no negativa. Defina $Q$ como la región delimitada a la derecha por el gráfico de $g (y),$ a la izquierda por el eje $y −eje,$ abajo por la línea $y = c,$ y arriba por la línea $y = d .$ Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $Q$ alrededor del eje $y$ viene dada por

V = \int_{c}^{d} π {[g (y)]}^{2} d y .

(2.4)

El siguiente ejemplo muestra cómo funciona esta regla en la práctica.

Ejemplo 2.9

Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 2

Supongamos que $R$ es la región delimitada por el gráfico de $g (y) = \sqrt{4 - y}$ y la intersección en $y$ sobre el $y$ intervalo $[0, 4] .$ Utilice el método de los discos para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de $R$ alrededor del eje $y .$

Solución

La Figura 2.20 muestra la función y un disco representativo que puede utilizarse para estimar el volumen. Observe que como estamos girando la función alrededor del eje $y −eje,$ los discos son horizontales en vez de verticales.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico marcado como "a" es la curva g(y) = raíz cuadrada(4-y). Es una curva decreciente que comienza en el eje y en y = 4. Entre la curva y el eje y hay un rectángulo horizontal. El rectángulo comienza en el eje y y se detiene en la curva. El segundo gráfico marcado como "b" es la misma curva que el primer gráfico. El rectángulo del primer gráfico ha girado alrededor del eje y para formar un disco horizontal.

Figura 2.20 (a) Se muestra un rectángulo delgado entre la curva de la función

g (y) = \sqrt{4 - y}

y la intersección en

y .

(b) El rectángulo forma un disco representativo después de la revolución alrededor del eje

y .

La región que debe girar y el sólido completo de revolución se representan en la siguiente figura.

Figura 2.21 (a) La región a la izquierda de la función

g (y) = \sqrt{4 - y}

sobre el

y

intervalo

[0, 4] .

b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del eje

y .

Para encontrar el volumen, integramos con respecto a $y .$ Obtenemos

\begin{matrix} V & = \int_{c}^{d} π {[g (y)]}^{2} d y \\ = \int_{0}^{4} π {[\sqrt{4 - y}]}^{2} d y = π \int_{0}^{4} (4 - y) d y \\ = {π [4 y - \frac{y^{2}}{2}] |}_{0}^{4} = 8 π . \end{matrix}

El volumen es $8 π$ unidades³.

Punto de control 2.9

Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de $g (y) = y$ y la intersección en $y$ en el intervalo $[1, 4]$ alrededor del eje $y .$

El método de arandelas

Algunos sólidos de revolución tienen cavidades en el centro; no son sólidos hasta el eje de revolución. A veces, esto es solo el resultado de la forma de la región de revolución con respecto al eje de revolución. En otros casos, las cavidades surgen cuando la región de revolución se define como la región entre los gráficos de dos funciones. Una tercera forma de que esto ocurra es cuando se selecciona un eje de revolución distinto al eje $x$ o $y$ .

Cuando el sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, las rodajas utilizadas para aproximar el volumen no son discos, sino arandelas (discos con agujeros en el centro). Por ejemplo, consideremos la región delimitada arriba por el gráfico de la función $f (x) = \sqrt{x}$ y abajo por el gráfico de la función $g (x) = 1$ en el intervalo $[1, 4] .$ Cuando esta región gira en torno al eje $x −eje,$ el resultado es un sólido con una cavidad en el centro, y las rodajas son arandelas. El gráfico de la función y una arandela representativa se muestran en la Figura 2.22(a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la Figura 2.22(c) y (d).

Esta figura tiene cuatro gráficos. El primer gráfico está marcado como "a" y tiene las dos funciones f(x) = raíz cuadrada(x) y g(x) = 1 graficadas en el primer cuadrante. f(x) es una curva creciente que comienza en el origen y g(x) es una línea horizontal en y = 1. Las curvas se intersecan en el par ordenado (1,1). Entre las curvas hay un rectángulo sombreado con la parte inferior en g(x) y la superior en f(x). El segundo gráfico marcado como "b" son las mismas dos curvas que el primer gráfico. El rectángulo sombreado entre las curvas del primer gráfico ha girado alrededor del eje x para formar un disco abierto o una arandela. El tercer gráfico marcado como "a" tiene las mismas dos curvas que el primer gráfico. Hay una región sombreada entre las dos curvas, entre el punto de intersección y una línea en x = 4. El cuarto gráfico son las mismas dos curvas que en el primer gráfico con la región del tercer gráfico girada alrededor del eje x, lo que forma una región sólida con un centro hueco. El centro hueco se representa en el gráfico con líneas horizontales discontinuas en y=1 e y=-1.

Figura 2.22 (a) Un rectángulo delgado en la región entre dos curvas. (b) Un disco representativo que se forma al girar el rectángulo alrededor del eje

x .

(c) La región entre las curvas sobre el intervalo dado. (d) El sólido de revolución resultante.

El área de la sección transversal, entonces, es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. En este caso,

A (x) = π {(\sqrt{x})}^{2} - π {(1)}^{2} = π (x - 1) .

Entonces el volumen del sólido es

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} A (x) d x \\ = \int_{1}^{4} π (x - 1) d x = {π [\frac{x^{2}}{2} - x] |}_{1}^{4} = \frac{9}{2} π {al cuadrado}^{3} . \end{matrix}

Generalizando este proceso se obtiene el método de las arandelas.

Regla: el método de las arandelas

Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones continuas y no negativas tales que $f (x) \geq g (x)$ en $[a, b] .$ Supongamos que $R$ denotan la región delimitada por el gráfico de $f (x),$ abajo por el gráfico de $g (x),$ a la izquierda por la línea $x = a,$ y a la derecha por la línea $x = b .$ Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ alrededor del eje $x$ viene dada por

V = \int_{a}^{b} π [{(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2}] d x .

(2.5)

Ejemplo 2.10

Utilizar el método de las arandelas

Calcule el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada arriba por el gráfico de $f (x) = x$ y abajo por el gráfico de $g (x) = 1 / x$ en el intervalo $[1, 4]$ alrededor del eje $x .$

Solución

Los gráficos de las funciones y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico está marcado como "a" y tiene dos curvas f(x)=x y g(x)=1/x. Se grafican solo en el primer cuadrante. f(x) es una línea diagonal que comienza en el origen y g(x) es una curva decreciente con el eje y como asíntota vertical y el eje x como asíntota horizontal. Los gráficos se intersecan en (1,1). Hay una región sombreada entre los gráficos, limitada a la derecha por una línea en x=4. El segundo gráfico muestra las mismas dos curvas. Hay un sólido formado por la rotación de la región sombreada del primer gráfico alrededor del eje x.

Figura 2.23 (a) La región entre los gráficos de las funciones

f (x) = x

y

g (x) = 1 / x

en el intervalo

[1, 4] .

(b) Al girar la región alrededor del eje

x

se genera un sólido de revolución con una cavidad en el centro.

Tenemos

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} π [{(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2}] d x \\ = π \int_{1}^{4} [x^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}] d x = {π [\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x}] |}_{1}^{4} = \frac{81 π}{4} {al cuadrado}^{3} . \end{matrix}

Punto de control 2.10

Halle el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada por los gráficos de $f (x) = \sqrt{x}$ y $g (x) = 1 / x$ en el intervalo $[1, 3]$ alrededor del eje $x .$

Al igual que con el método de los discos, también podemos aplicar el método de las arandelas a los sólidos de revolución que resultan de girar una región alrededor del eje y. En este caso, se aplica la siguiente regla.

Regla: el método de las arandelas para sólidos de revolución alrededor del eje y

Supongamos que $u (y)$ y $v (y)$ son funciones continuas y no negativas tales que $v (y) \leq u (y)$ por $y \in [c, d] .$ Supongamos que $Q$ denota la región limitada a la derecha por el gráfico de $u (y),$ a la izquierda por el gráfico de $v (y),$ abajo por la línea $y = c,$ y arriba por la línea $y = d .$ Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $Q$ alrededor del eje $y$ viene dada por

V = \int_{c}^{d} π [{(u (y))}^{2} - {(v (y))}^{2}] d y .

En vez de ver un ejemplo del método de las arandelas con el eje $y$ como eje de revolución, consideramos ahora un ejemplo en el que el eje de revolución es una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Se aplica el mismo método general, pero es posible que tenga que visualizar cómo describir el área de la sección transversal del volumen.

Ejemplo 2.11

El método de las arandelas con un eje de revolución diferente

Halle el volumen del sólido de revolución fque se forma al girar la región delimitada arriba por $f (x) = 4 - x$ y abajo por el eje $x$ en el intervalo $[0, 4]$ alrededor de la línea $y = –2 .$

Solución

El gráfico de la región y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico está marcado como "a" y tiene dos curvas f(x)=4-x y -2. Hay una región sombreada que forma un triángulo delimitado por la línea decreciente f(x), el eje y y el eje x. El segundo gráfico muestra las mismas dos curvas. Hay un sólido formado por la rotación de la región sombreada del primer gráfico alrededor de la línea y = –2. Dentro del sólido representado por las rectas y=-2 e y=-4 hay un cilindro hueco.

Figura 2.24 (a) La región entre el gráfico de la función

f (x) = 4 - x

y el eje

x

en el intervalo

[0, 4] .

(b) Al girar la región alrededor de la línea

y = −2

se obtiene un sólido de revolución con un agujero cilíndrico en su centro.

No podemos aplicar la fórmula del volumen a este problema directamente porque el eje de revolución no es uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, aún sabemos que el área de la sección transversal es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. Si observamos el gráfico de la función, vemos que el radio del círculo exterior viene dado por $f (x) + 2,$ que se simplifica a

f (x) + 2 = (4 - x) + 2 = 6 - x .

El radio del círculo interior es $g (x) = 2 .$ Por lo tanto, tenemos

\begin{matrix} V & = \int_{0}^{4} π [{(6 - x)}^{2} - {(2)}^{2}] d x \\ = π \int_{0}^{4} (x^{2} - 12 x + 32) d x = {π [\frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2} + 32 x] |}_{0}^{4} = \frac{160 π}{3} {al cuadrado}^{3} . \end{matrix}

Punto de control 2.11

Calcule el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada arriba por el gráfico de $f (x) = x + 2$ y abajo por el eje $x$ en el intervalo $[0, 3]$ alrededor de la línea $y = −1 .$

Sección 2.2 ejercicios

58.

Deduzca la fórmula del volumen de una esfera utilizando el método de las rebanadas.

59.

Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula del volumen de un cono.

60.

Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula del volumen de un tetraedro de lado $a .$

61.

Utilice el método de los discos para obtener la fórmula del volumen de un cilindro trapezoidal.

62.

Explique cuándo utilizaría el método de los discos en vez del método de las arandelas. ¿Cuándo son intercambiables?

En los siguientes ejercicios, dibuje una rebanada típica y halle el volumen utilizando el método de las rebanadas para el volumen dado.

63.

Pirámide con altura de 6 unidades y base cuadrada de lado de 2 unidades, como la que se muestra aquí.

Esta figura es una pirámide con un ancho de base de 2 unidades y una altura de 6 unidades.

64.

Una pirámide con altura de 4 unidades y base rectangular con longitud de 2 unidades y anchura de 3 unidades, como se muestra aquí.

Esta figura es una pirámide con un ancho de base de 2, un largo de 3 y una altura de 4 unidades.

65.

Tetraedro con un lado de la base de 4 unidades, como se ve aquí.

Esta figura es un triángulo equilátero con una longitud de lado de 4 unidades.

66.

Pirámide con altura de 5 unidades, y una base triangular isósceles con longitudes de 6 y 8 unidades, como se ve aquí.

Esta figura es una pirámide con base triangular. La vista es de la base. Los lados del triángulo miden 6, 8 y 8 unidades. La altura de la pirámide es de 5 unidades.

67.

Un cono de radio $r$ y altura $h$ tiene un cono de radio más pequeño $r / 2$ y altura $h / 2$ retirado de la parte superior, como se ve aquí. El sólido resultante se denomina tronco.

Esta figura es un gráfico tridimensional de un cono invertido. El cono está dentro de un prisma rectangular que representa el sistema de coordenadas xyz. El radio de la parte inferior del cono es "r" y el radio de la parte superior del cono está marcado como "r/2".

En los siguientes ejercicios, dibuje un contorno del sólido y halle el volumen utilizando el método de las rebanadas.

68.

La base es un círculo de radio $a .$ Los cortes perpendiculares a la base son cuadrados.

69.

La base es un triángulo con vértices $(0, 0), (1, 0),$ y $(0, 1) .$ Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos.

70.

La base es la región bajo la parábola $y = 1 - x^{2}$ en el primer cuadrante. Los cortes perpendiculares al plano xy y paralelos al eje y son cuadrados.

71.

La base es la región bajo la parábola $y = 1 - x^{2}$ y por encima del plano $x .$ Las rebanadas perpendiculares al eje $y$ son cuadradas.

72.

La base es la región delimitada por $y = x^{2}$ y $y = 9 .$ Las rodajas perpendiculares al eje x son triángulos isósceles rectos. La intersección de uno de estos cortes con la base es el cateto del triángulo.

73.

La base es el área entre $y = x$ como $y = x^{2} .$ Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos.

Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, utilice el método de los discos para encontrar el volumen cuando la región gira alrededor del eje x.

74.

$x + y = 8, x = 0, y y = 0$

75.

$y = 2 x^{2}, x = 0, x = 4, y y = 0$

76.

$y = e^{x} + 1, x = 0, x = 1, y y = 0$

77.

$y = x^{4}, x = 0, y y = 1$

78.

$y = \sqrt{x}, x = 0, x = 4, y y = 0$

79.

$y = sen x, y = cos x, y x = 0$

80.

$y = \frac{1}{x}, x = 2, y y = 3$

81.

$x^{2} - y^{2} = 9 y x + y = 9, y = 0 y x = 0$

Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, halle el volumen cuando la región gira alrededor del eje y.

82.

$y = 4 - \frac{1}{2} x, x = 0, y y = 0$

83.

$y = 2 x^{3}, x = 0, x = 1, y y = 0$

84.

$y = 3 x^{2}, x = 0, y y = 3$

85.

$y = \sqrt{4 - x^{2}}, y = 0, y x = 0$

86.

$y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}, x = 0, y x = 3$

87.

$x = sec (y) y y = \frac{π}{4}, y = 0 y x = 0$

88.

$y = \frac{1}{x + 1}, x = 0, y x = 2$

89.

$y = 4 - x, y = x, y x = 0$

Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, halle el volumen cuando la región gira alrededor del eje x.

90.

$y = x + 2, y = x + 6, x = 0, y x = 5$

91.

$y = x^{2} y y = x + 2$

92.

$x^{2} = y^{3} y x^{3} = y^{2}$

93.

$y = 4 - x^{2} y y = 2 - x$

94.

[T] $y = cos x, y = e^{– x}, x = 0, y x = 1,2927$

95.

$y = \sqrt{x} y y = x^{2}$

96.

$y = sen x, y = 5 sen x, x = 0 y x = π$

97.

$y = \sqrt{1 + x^{2}} y y = \sqrt{4 - x^{2}}$

Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, utilice el método de las arandelas para hallar el volumen cuando la región gira alrededor del eje y.

98.

$y = \sqrt{x}, x = 4, y y = 0$

99.

$y = x + 2, y = 2 x - 1, y x = 0$

100.

$y = \sqrt[3]{x} y y = x^{3}$

101.

$x = e^{2 y}, x = y^{2}, y = 0, y y = ln (2)$

102.

$x = \sqrt{9 - y^{2}}, x = e^{− y}, y = 0, y y = 3$

103.

Los envases de yogur pueden tener forma de tronco. Gire la línea $y = \frac{1}{m} x$ alrededor del eje y para hallar el volumen entre $y = a y y = b .$

Esta figura tiene dos partes. La primera parte es un cono sólido. La base del cono es más ancha que la parte superior. Se muestra en una caja tridimensional. Debajo del cono hay una imagen de un envase de yogur con la misma forma que la figura.

104.

Rote la elipse $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1$ alrededor del eje x para aproximar el volumen de un balón de fútbol, como se ve aquí.

Esta figura tiene un óvalo que es aproximadamente igual a la imagen de un balón de fútbol.

105.

Rote la elipse $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1$ alrededor del eje y para aproximar el volumen de un balón de fútbol.

106.

Una mejor aproximación al volumen de un balón de fútbol viene dada por el sólido que se obtiene al girar $y = sen x$ alrededor del eje x de $x = 0$ hasta $x = π .$ ¿Cuál es el volumen de esta aproximación del balón de fútbol, como se ve aquí?

Esta figura tiene una forma ovalada tridimensional. Está dentro de una caja paralela al eje x en el borde frontal inferior de la caja. El eje y es vertical al sólido.

107.

¿Cuál es el volumen del pastel en forma de anillo que se obtiene al girar $y = sen x$ alrededor del eje y de $x = 0$ hasta $x = π ?$

Esta figura es un gráfico de un sólido tridimensional. Es redondo y se hace más grande hacia el fondo. Tiene un agujero en el centro que se va reduciendo progresivamente hacia el fondo. Junto al gráfico hay una imagen de un pastel en forma de anillo, que se asemeja al sólido.

En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido descrito.

108.

La base es la región entre $y = x$ como $y = x^{2} .$ Los cortes perpendiculares al eje xson semicírculos.

109.

La base es la región delimitada por la elipse genérica $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1 .$ Los cortes perpendiculares al eje xson semicírculos.

110.

Perfore un agujero de radio $a$ por el eje de un cono recto y a través de la base de radio $b,$ como se ve aquí.

Esta figura es un cono invertido. Tiene el radio de la parte superior marcado como "b", el centro en "a", y la altura como "b".

111.

Halle el volumen común a dos esferas de radio $r$ con centros que tienen $2 h$ de separación, como se muestra aquí.

Esta figura tiene dos círculos que se intersecan. Ambos círculos tienen radio "r". Hay un segmento de línea desde un centro hasta el otro. En el centro de la intersección de los círculos está el punto "h", que está en el segmento de la línea.

112.

Halle el volumen de un casquete esférico de altura $h$ y radio $r$ donde $h < r,$ como se ve aquí.

Esta figura una porción de una esfera. Este casquete esférico tiene un radio "r" y una altura "h".

113.

Halle el volumen de una esfera de radio $R$ con un casquete de altura $h$ retirado de la parte superior, como se ve aquí.

Esta figura es una esfera a la que se le ha quitado la parte superior. El radio de la esfera es "R". La distancia desde el centro hasta el lugar donde se retira la parte superior es "R-h".

2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte

El volumen y el método de las rebanadas

Estrategia para la resolución de problemas: Búsqueda de volúmenes por el método de las rebanadas

Derivación de la fórmula del volumen de una pirámide

Solución

Sólidos de revolución

Uso del método de las rebanadas para hallar el volumen de un sólido de revolución

Solución

El método del disco

Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 1

Solución

Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 2

Solución

El método de arandelas

Utilizar el método de las arandelas

Solución

El método de las arandelas con un eje de revolución diferente

Solución

Sección 2.2 ejercicios