Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.4.1 Explicar las tres condiciones de continuidad en un punto.
2.4.2 Describir tres tipos de discontinuidades.
2.4.3 Definir la continuidad en un intervalo.
2.4.4 Enunciar el teorema de los límites de las funciones compuestas.
2.4.5 Dar un ejemplo del teorema del valor intermedio.

Muchas funciones tienen la propiedad de que sus gráficos se pueden trazar con un lápiz sin levantar el lápiz de la página. Estas funciones se denominan continuas. Otras funciones tienen puntos en los que se produce una ruptura en el gráfico, pero satisfacen esta propiedad en los intervalos contenidos en sus dominios. Son continuas en estos intervalos y se dice que tienen una discontinuidad en un punto donde se produce una ruptura.

Comenzamos nuestra investigación sobre la continuidad explorando lo que significa que una función tenga continuidad en un punto. Intuitivamente, una función es continua en un punto determinado si no hay ruptura en su gráfico en ese punto.

Continuidad en un punto

Antes de ver una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, consideremos varias funciones que no cumplen nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continua en un punto. A continuación, creamos una lista de condiciones que evitan estos fallos.

Nuestra primera función de interés se muestra en la Figura 2.32. Vemos que el gráfico de $f (x)$ tiene un agujero en a. De hecho, $f (a)$ es indefinida. Como mínimo, para que $f (x)$ sea continua en a, necesitamos la siguiente condición:

i. f (a) está definida.

Gráfico de una función lineal creciente f(x) que cruza el eje x del cuadrante tres al cuadrante dos y que interseca el eje y del cuadrante dos al cuadrante uno. Un punto a mayor que cero se marca en el eje x. El punto de la función f(x) sobre a es una circunferencia abierta; la función no está definida en a.

Figura 2.32 La función

f (x)

no es continua en a porque

f (a)

es indefinida.

Sin embargo, como vemos en la Figura 2.33, esta condición no es suficiente para garantizar la continuidad en el punto a. Aunque $f (a)$ está definida, la función tiene una brecha en a. En este ejemplo, la brecha existe porque $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ no existe. Debemos añadir otra condición para la continuidad en a,, a saber,

ii. \underset{x \to a}{lím} f (x) existe.

Gráfico de una función a trozos f(x) con dos partes. La primera parte es una función lineal creciente que cruza del cuadrante tres al cuadrante uno en el origen. Un punto a mayor que cero se marca en el eje x. En fa. en este segmento, hay un círculo sólido. El otro segmento también es una función lineal creciente. Existe en el cuadrante uno para valores de x mayores que a. En x=a, este segmento tiene un círculo abierto.

Figura 2.33 La función

f (x)

no es continua en a porque

\underset{x \to a}{lím} f (x)

no existe.

Sin embargo, como vemos en la Figura 2.34, estas dos condiciones por sí solas no garantizan la continuidad en un punto. La función de esta figura satisface las dos primeras condiciones, pero sigue sin ser continua en a. Debemos añadir una tercera condición a nuestra lista:

iii. \underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a) .

El gráfico de una función a trozos con dos partes. La primera parte es una función lineal creciente que interseca el eje x del cuadrante tres al cuadrante dos e interseca el eje y del cuadrante dos al cuadrante uno. Un punto a mayor que cero se marca en el eje x. En este punto, hay un círculo abierto en la función lineal. La segunda parte es un punto en x=a sobre la línea.

Figura 2.34 La función

f (x)

no es continua en a porque

\underset{x \to a}{lím} f (x) \neq f (a) .

Ahora reunamos nuestra lista de condiciones y formemos una definición de continuidad en un punto.

Definición

Una función $f (x)$ es continua en un punto a si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

$f (a)$ está definida
$\underset{x \to a}{lím} f (x)$ existe
$\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a)$

Una función es discontinua en un punto a si no es continua en a.

El siguiente procedimiento se puede utilizar para analizar la continuidad de una función en un punto utilizando esta definición.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Determinación de la continuidad en un punto

Compruebe si $f (a)$ está definida. Si los valores de $f (a)$ es indefinida, no necesitamos ir más allá. La función no es continua en a. Si los valores de $f (a)$ está definida, continúe con el paso 2.
Calcule $\underset{x \to a}{lím} f (x) .$ Es posible que en algunos casos tengamos que hacer esto calculando primero $\underset{x \to a^{-}}{lím} f (x)$ y $\underset{x \to a^{+}}{lím} f (x) .$ Si $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ no existe (es decir, no es un número real), entonces la función no es continua en a y el problema está resuelto. Si los valores de $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ existe, entonces continúe con el paso 3.
Compare $f (a)$ y $\underset{x \to a}{lím} f (x) .$ Si $\underset{x \to a}{lím} f (x) \neq f (a),$ entonces la función no es continua en a. Si los valores de $\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a),$ entonces la función es continua en a.

Los tres ejemplos siguientes muestran cómo aplicar esta definición para determinar si una función es continua en un punto dado. Ilustran situaciones en las que cada una de las condiciones de continuidad de la definición tiene éxito o falla.

Ejemplo 2.26

Determinación de la continuidad en un punto, condición 1

Utilizando la definición, determine si la función $f (x) = (x^{2} - 4) / (x - 2)$ es continua en $x = 2 .$ Justifique la conclusión.

Solución

Empecemos por intentar calcular $f (2) .$ Podemos ver que $f (2) = 0 / 0,$ que es indefinida. Por lo tanto, $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ es discontinua en 2 porque $f (2)$ es indefinida. El gráfico de $f (x)$ se muestra en la Figura 2.35.

Gráfico de la función dada. Hay una línea que interseca el eje x del cuadrante tres al cuadrante dos e interseca el eje y del cuadrante dos al cuadrante uno. En un punto del cuadrante uno, hay un círculo abierto donde la función no está definida.

Figura 2.35 La función

f (x)

es discontinua en 2 porque

f (2)

es indefinida.

Ejemplo 2.27

Determinación de la continuidad en un punto, condición 2

Utilizando la definición, determine si la función $f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 4 & si x \leq 3 \\ 4 x - 8 & si x > 3 \end{cases}$ es continua en $x = 3 .$ Justifique la conclusión.

Solución

Empecemos por intentar calcular $f (3) .$

f (3) = - (3^{2}) + 4 = −5 .

Así, $f (3)$ está definida. A continuación, calculamos $\underset{x \to 3}{lím} f (x) .$ Para ello, debemos calcular $\underset{x \to 3^{-}}{lím} f (x)$ y $\underset{x \to 3^{+}}{lím} f (x) :$

\underset{x \to 3^{-}}{lím} f (x) = - (3^{2}) + 4 = −5

y

\underset{x \to 3^{+}}{lím} f (x) = 4 (3) - 8 = 4 .

Por lo tanto, $\underset{x \to 3}{lím} f (x)$ no existe. Así, $f (x)$ no es continua en 3. El gráfico de $f (x)$ se muestra en la Figura 2.36.

Gráfico de la función a trozos dada, que tiene dos partes. La primera es una parábola que se abre hacia abajo y que es simétrica con respecto al eje y. Su vértice está en el eje y, mayor que cero. Hay un círculo cerrado en la parábola para x=3. La segunda parte es una función lineal creciente en el primer cuadrante, que existe para valores de x > 3. Hay un círculo abierto al final de la línea donde x sería 3.

Figura 2.36 La función

f (x)

no es continua en 3 porque

\underset{x \to 3}{lím} f (x)

no existe.

Ejemplo 2.28

Determinación de la continuidad en un punto, condición 3

Utilizando la definición, determine si la función $f (x) = {\begin{cases} \frac{sen x}{x} & si x \neq 0 \\ 1 & si x = 0 \end{cases}$ es continua en $x = 0 .$

Solución

En primer lugar, observe que

f (0) = 1 .

Luego,

\underset{x \to 0}{lím} f (x) = \underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x}{x} = 1 .

Por último, compare $f (0)$ y $\underset{x \to 1}{lím} f (x) .$ Vemos que

f (0) = 1 = \underset{x \to 0}{lím} f (x) .

Dado que se cumplen las tres condiciones de la definición de continuidad, $f (x)$ es continua en $x = 0 .$

Punto de control 2.21

Utilizando la definición, determine si la función $f (x) = {\begin{matrix} 2 x + 1 & si x < 1 \\ 2 & si x = 1 \\ - x + 4 & si x > 1 \end{matrix}$ es continua en $x = 1 .$ Si la función no es continua en 1, indique la condición de continuidad en un punto que no se cumple.

Aplicando la definición de continuidad y los teoremas previamente establecidos sobre la evaluación de límites, podemos enunciar el siguiente teorema.

Teorema 2.8

Continuidad de polinomios y funciones racionales

Los polinomios y las funciones racionales son continuos en todos los puntos de sus dominios.

Prueba

Anteriormente, demostramos que si $p (x)$ como $q (x)$ son polinomios, $\underset{x \to a}{lím} p (x) = p (a)$ para cada polinomio $p (x)$ y $\underset{x \to a}{lím} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)}$ siempre y cuando $q (a) \neq 0 .$ Por lo tanto, los polinomios y las funciones racionales son continuos en sus dominios.

□

Ahora aplicamos Continuidad de polinomios y funciones racionales para determinar los puntos en los que una función racional dada es continua.

Ejemplo 2.29

Continuidad de una función racional

¿Para qué valores de x es $f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}$ es continua?

Solución

La función racional $f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}$ es continua para cualquier valor de x excepto $x = 5 .$

Punto de control 2.22

¿Para qué valores de x es $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{2}$ es continua?

Tipos de discontinuidades

Como hemos visto en el Ejemplo 2.26 y el Ejemplo 2.27, las discontinuidades adquieren diferentes aspectos. Clasificamos los tipos de discontinuidades que hemos visto hasta ahora como discontinuidades removibles, discontinuidades infinitas o discontinuidades de salto. Intuitivamente, una discontinuidad removible es aquella para la cual hay un agujero en el gráfico, una discontinuidad de salto es aquella no infinita en la que las secciones de la función no se encuentran, y una discontinuidad infinita es la que se halla en una asíntota vertical. La Figura 2.37 ilustra las diferencias de estos tipos de discontinuidades. Aunque estos términos proporcionan una forma práctica de describir tres tipos comunes de discontinuidades, hay que tener en cuenta que no todas las discontinuidades encajan perfectamente en estas categorías.

Tres gráficos, cada uno de los cuales muestra una discontinuidad diferente. La primera es la discontinuidad removible. Aquí, la función dada es una línea con pendiente positiva. En el punto x=a, donde a>0, hay un círculo abierto en la línea y un círculo cerrado unas unidades por encima de la línea. La segunda es una discontinuidad de salto. Aquí hay dos líneas con pendiente positiva. La primera línea existe para x<=a, y la segunda para x>a, donde a>0. La primera línea termina en un círculo sólido donde x=a, y la segunda comienza unas unidades más arriba con un círculo abierto en x=a. El tercer tipo de discontinuidad es la discontinuidad infinita. Aquí, la función tiene dos partes separadas por una asíntota x=a. El primer segmento es una curva que se extiende a lo largo del eje x hasta 0 cuando x va al infinito negativo y a lo largo del eje y hasta el infinito cuando x llega a cero. El segundo segmento es una curva que se extiende a lo largo del eje y hasta el infinito negativo cuando x va a cero y a lo largo del eje x hasta 0 cuando x va a infinito.

Figura 2.37 Las discontinuidades se clasifican como (a) removibles, (b) de salto, o (c) infinitas.

Estas tres discontinuidades se definen formalmente como sigue:

Definición

Si $f (x)$ es discontinua en a, entonces

$f$ tiene una discontinuidad removible en un si $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ . (Nota: Cuando afirmamos que $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ existe, queremos decir que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L,$ donde L es un número real).
$f$ tiene una discontinuidad de salto en a si $\underset{x \to a^{-}}{lím} f (x)$ y $\underset{x \to a^{+}}{lím} f (x)$ ambos existen, pero $\underset{x \to a^{-}}{lím} f (x) \neq \underset{x \to a^{+}}{lím} f (x) .$ (Nota: Cuando afirmamos que $\underset{x \to a^{-}}{lím} f (x)$ y $\underset{x \to a^{+}}{lím} f (x)$ ambos existen, queremos decir que ambos son de valor real y que ninguno toma los valores ±∞).
$f$ tiene una discontinuidad infinita en a si $\underset{x \to a^{-}}{lím} f (x) = ± \infty$ o $\underset{x \to a^{+}}{lím} f (x) = ± \infty .$

Ejemplo 2.30

Clasificar una discontinuidad

En el Ejemplo 2.26, demostramos que $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ es discontinuo en $x = 2 .$ Clasifique esta discontinuidad como evitable, de salto finito o de salto infinito.

Solución

Para clasificar la discontinuidad en 2 debemos evaluar $\underset{x \to 2}{lím} f (x) :$

\begin{matrix} \underset{x \to 2}{lím} f (x) & = \underset{x \to 2}{lím} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} \\ = \underset{x \to 2}{lím} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} \\ = \underset{x \to 2}{lím} (x + 2) \\ = 4 . \end{matrix}

Como f es discontinua en 2 y $\underset{x \to 2}{lím} f (x)$ existe, f tiene una discontinuidad removible en $x = 2 .$

Ejemplo 2.31

Clasificar una discontinuidad

En el Ejemplo 2.27, demostramos que $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 4 & si x \leq 3 \\ 4 x - 8 & si x > 3 \end{matrix}$ es discontinuo en $x = 3 .$ Clasifique esta discontinuidad como evitable, de salto finito o de salto infinito.

Solución

Anteriormente, demostramos que f es discontinua en 3 porque $\underset{x \to 3}{lím} f (x)$ no existe. Sin embargo, como $\underset{x \to 3^{-}}{lím} f (x) = −5$ y $\underset{x \to 3^{+}}{lím} f (x) = 4$ ambos existen, concluimos que la función tiene una discontinuidad de salto en 3.

Ejemplo 2.32

Clasificar una discontinuidad

Determine si $f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ es continua en -1. Si la función es discontinua en -1, clasifique la discontinuidad como removible, de salto o infinita.

Solución

El valor de la función $f (–1)$ es indefinida. Por lo tanto, la función no es continua en -1. Para determinar el tipo de discontinuidad, debemos determinar el límite en -1. Vemos que $\underset{x \to {−1}^{-}}{lím} \frac{x + 2}{x + 1} = − \infty$ y $\underset{x \to {−1}^{+}}{lím} \frac{x + 2}{x + 1} = + \infty .$ Por lo tanto, la función tiene una discontinuidad infinita en -1.

Punto de control 2.23

Para $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & si x \neq 1 \\ 3 & si x = 1 \end{matrix},$ decida si f es continua en 1. Si f no es continua en 1, clasifique la discontinuidad como removible, de salto o infinita.

Continuidad en un intervalo

Ahora que hemos explorado el concepto de continuidad en un punto, extendamos esa idea a la continuidad en un intervalo. Mientras desarrollamos esta idea para diferentes tipos de intervalos, puede ser útil tener en mente la idea intuitiva de que una función es continua en un intervalo si podemos usar un lápiz para trazar la función entre dos puntos cualesquiera del intervalo sin levantar el lápiz del papel. Como preparación para definir la continuidad en un intervalo, empecemos por ver la definición de lo que significa que una función sea continua por la derecha o por la izquierda en un punto.

Continuidad por la derecha y por la izquierda

Una función $f (x)$ se dice que es continua por la derecha en a si $\underset{x \to a^{+}}{lím} f (x) = f (a) .$

Una función $f (x)$ se dice que es continua por la izquierda en a si $\underset{x \to a^{-}}{lím} f (x) = f (a) .$

Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Una función $f (x)$ es continua en un intervalo cerrado de la forma $[a, b]$ si es continua en cada punto de $(a, b)$ y es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. De manera similar, una función $f (x)$ es continua en un intervalo de la forma $(a, b]$ si es continua en $(a, b)$ y es continua por la izquierda en b. La continuidad en otros tipos de intervalos se define de forma similar.

Exigir que $\underset{x \to a^{+}}{lím} f (x) = f (a)$ y $\underset{x \to b^{-}}{lím} f (x) = f (b)$ asegura que podemos trazar el gráfico de la función desde el punto $(a, f (a))$ al punto $(b, f (b))$ sin levantar el lápiz. Si, por ejemplo, $\underset{x \to a^{+}}{lím} f (x) \neq f (a),$ tendríamos que levantar el lápiz para saltar desde $f (a)$ al gráfico del resto de la función en $(a, b] .$

Ejemplo 2.33

Continuidad en un intervalo

Indique el intervalo o los intervalos en los que la función $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}$ es continuo.

Solución

Dado que $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}$ es una función racional, es continua en todos los puntos de su dominio. El dominio de $f (x) .$ es el conjunto $(- \infty, –2) \cup (–2, 0) \cup (0, + \infty) .$ Por lo tanto, $f (x) .$ es continua en cada uno de los intervalos $(- \infty, –2), (–2, 0),$ y $(0, + \infty) .$

Ejemplo 2.34

Continuidad en un intervalo

Indique el intervalo o los intervalos en los que la función $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ es continuo.

Solución

A partir de las leyes de los límites, sabemos que $\underset{x \to a}{lím} \sqrt[]{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - a^{2}}$ para todos los valores de a en $(–2, 2) .$ También sabemos que $\underset{x \to {−2}^{+}}{lím} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ existe y $\underset{x \to 2^{-}}{lím} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ . Por lo tanto, $f (x)$ es continua en el intervalo $[−2, 2] .$

Punto de control 2.24

Indique el intervalo o los intervalos en los que la función $f (x) = \sqrt{x + 3}$ es continuo.

El Teorema de la función compuesta nos permite ampliar nuestra capacidad de calcular los límites. En particular, este teorema nos permite demostrar en definitiva que las funciones trigonométricas son continuas sobre sus dominios.

Teorema 2.9

Teorema de la función compuesta

Si los valores de $f (x)$ es continua en L y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = L,$ entonces

\underset{x \to a}{lím} f (g (x)) = f (\underset{x \to a}{lím} g (x)) = f (L) .

Antes de pasar al Ejemplo 2.35, recordemos que en la sección de leyes de los límites, mostramos $\underset{x \to 0}{lím} cos x = 1 = cos (0) .$ En consecuencia, sabemos que $f (x) = cos x$ es continua en 0. En el Ejemplo 2.35 vemos cómo combinar este resultado con el teorema de la función compuesta.

Ejemplo 2.35

Límite de una función coseno compuesta

Evalúe $\underset{x \to π / 2}{lím} cos (x - \frac{π}{2}) .$

Solución

La función dada es un compuesto de $cos x$ y $x - \frac{π}{2} .$ Dado que $\underset{x \to π / 2}{lím} (x - \frac{π}{2}) = 0$ y $cos x$ es continua en 0, podemos aplicar el teorema de la función compuesta. Por lo tanto,

\underset{x \to π / 2}{lím} cos (x - \frac{π}{2}) = cos (\underset{x \to π / 2}{lím} (x - \frac{π}{2})) = cos (0) = 1 .

Punto de control 2.25

Evalúe $\underset{x \to π}{lím} sen (x - π) .$

La prueba del siguiente teorema utiliza el teorema de la función compuesta así como la continuidad de $f (x) = sen x$ y $g (x) = cos x$ en el punto 0 para demostrar que las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios.

Teorema 2.10

Continuidad de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios.

Prueba

Comenzamos demostrando que $cos x$ es continua en todo número real. Para ello, debemos demostrar que $\underset{x \to a}{lím} cos x = cos a$ para todos los valores de a.

$\begin{matrix} \underset{x \to a}{lím} cos x & = \underset{x \to a}{lím} cos ((x - a) + a) & reescriba x = x - a + a \\ = \underset{x \to a}{lím} (cos (x - a) cos a - sen (x - a) sen a) & aplique la identidad del coseno a través de la suma de dos ángulos \\ = cos (\underset{x \to a}{lím} (x - a)) cos a - sen (\underset{x \to a}{lím} (x - a)) sen a & \underset{x \to a}{lím} (x - a) = 0, y sen x y cos x son continuos en 0 \\ = cos (0) cos a - sen (0) sen a & evalúe cos(0) y sen(0) y simplifique \\ = 1 . cos a - 0 . sen a = cos a . \end{matrix}$

La prueba de que $sen x$ es continua en todo número real es análoga. Puesto que el resto de las funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de $sen x$ y $cos x,$ su continuidad se desprende de la ley del límite del cociente.

□

Como puede ver, el teorema de la función compuesta es muy valioso para demostrar la continuidad de las funciones trigonométricas. A medida que avanzamos en el estudio del cálculo, volveremos a ver este teorema muchas veces.

El teorema del valor intermedio

Funciones continuas sobre intervalos de la forma $[a, b],$ donde a y b son números reales y presentan muchas propiedades útiles. A lo largo de nuestro estudio del cálculo, nos encontraremos con muchos teoremas poderosos relativos a dichas funciones. El primero de estos teoremas es el teorema del valor intermedio.

Teorema 2.11

El teorema del valor intermedio

Supongamos que f es continua en un intervalo cerrado y limitado $[a, b] .$ Si z es cualquier número real entre $f (a)$ y $f (b),$ entonces hay un número c en $[a, b]$ que satisface $f (c) = z$ en la Figura 2.38.

Figura 2.38 Hay un número

c \in [a, b]

que satisface

f (c) = z .

Ejemplo 2.36

Aplicación del teorema del valor intermedio

Demuestre que $f (x) = x - cos x$ tiene al menos un cero.

Solución

Dado que $f (x) = x - cos x$ es continua en $(− \infty, + \infty),$ es continua en cualquier intervalo cerrado de la forma $[a, b] .$ Si puede hallar un intervalo $[a, b]$ de manera que $f (a)$ y $f (b)$ tienen signos opuestos, puede utilizar el teorema del valor intermedio para concluir que debe haber un número real c en $(a, b)$ que satisface $f (c) = 0 .$ Tenga en cuenta que

f (0) = 0 - cos (0) = −1 < 0

y

f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - cos \frac{π}{2} = \frac{π}{2} > 0 .

Utilizando el teorema del valor intermedio podemos ver que debe haber un número real c en $[0, π / 2]$ que satisface $f (c) = 0 .$ Por lo tanto, $f (x) = x - cos x$ tiene al menos un cero.

Ejemplo 2.37

¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio?

Si los valores de $f (x)$ es continua en $[0, 2], f (0) > 0$ y $f (2) > 0,$ ¿podemos utilizar el teorema del valor intermedio para concluir que $f (x)$ no tiene ceros en el intervalo $[0, 2]?$ Explique.

Solución

No. El teorema del valor intermedio solo nos permite concluir que podemos encontrar un valor entre $f (0)$ y $f (2);$ no nos permite concluir que no podemos encontrar otros valores. Para ver esto más claramente, considere la función $f (x) = {(x - 1)}^{2} .$ Este satisface $f (0) = 1 > 0, f (2) = 1 > 0,$ y $f (1) = 0 .$

Ejemplo 2.38

¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio?

Para $f (x) = 1 / x, f (–1) = −1 < 0$ y $f (1) = 1 > 0 .$ ¿Podemos concluir que $f (x)$ tiene un cero en el intervalo $[−1, 1] ?$

Solución

No. La función no es continua sobre $[−1, 1] .$ El teorema del valor intermedio no se aplica aquí.

Punto de control 2.26

Demuestre que $f (x) = x^{3} - x^{2} - 3 x + 1$ tiene un cero en el intervalo $[0, 1] .$

Sección 2.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, determine el punto o puntos en los que cada función es discontinua, si los hay. Clasifique cualquier discontinuidad como de salto, removible, infinita u otra.

131.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

132.

$f (x) = \frac{2}{x^{2} + 1}$

133.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x}$

134.

$g (t) = t^{−1} + 1$

135.

$f (x) = \frac{5}{e^{x} - 2}$

136.

$f (x) = \frac{| x - 2 |}{x - 2}$

137.

$H (x) = tan 2 x$

138.

$f (t) = \frac{t + 3}{t^{2} + 5 t + 6}$

En los siguientes ejercicios, decida si la función es continua en el punto dado. Si es discontinua, ¿de qué tipo de discontinuidad se trata?

139.

$f (x) \frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}$ en $x = 1$

140.

$h (θ) = \frac{sen θ - cos θ}{tan θ}$ en $θ = π$

141.

$g (u) = {\begin{cases} \frac{6 u^{2} + u - 2}{2 u - 1} & si u \neq \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2} & si u = \frac{1}{2} \end{cases},$ a las $u = \frac{1}{2}$

142.

$f (y) = \frac{sen (π y)}{tan (π y)},$ a las $y = 1$

143.

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} - e^{x} & si x < 0 \\ x - 1 & si x \geq 0 \end{cases},$ a las $x = 0$

144.

$f (x) = {\begin{cases} x sen (x) si x \leq π \\ x tan (x) si x > π \end{cases},$ a las $x = π$

En los siguientes ejercicios, halle el valor o valores de k que hacen que cada función sea continua en el intervalo dado.

145.

$f (x) = {\begin{matrix} 3 x + 2, & x < k \\ 2 x - 3, & k \leq x \leq 8 \end{matrix}$

146.

$f (θ) = {\begin{cases} sen θ, & 0 \leq θ < \frac{π}{2} \\ cos (θ + k), & \frac{π}{2} \leq θ \leq π \end{cases}$

147.

$f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 2}, & x \neq - 2 \\ k, & x = –2 \end{matrix}$

148.

$f (x) = {\begin{matrix} e^{k x}, & 0 \leq x < 4 \\ x + 3, & 4 \leq x \leq 8 \end{matrix}$

149.

$f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{k x}, & 0 \leq x \leq 3 \\ x + 1, & 3 < x \leq 10 \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio (TVI).

150.

Supongamos que $h (x) = {\begin{cases} 3 x^{2} - 4, & x \leq 2 \\ 5 + 4 x, & x > 2 \end{cases}$ En el intervalo $[0, 4],$ no hay ningún valor de x tal que $h (x) = 10,$ aunque $h (0) < 10$ y $h (4) > 10 .$ Explique por qué esto no contradice el TVI.

151.

Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene en cada tiempo t una función de posición $s (t),$ que es continua. Supongamos que $s (2) = 5$ y $s (5) = 2 .$ Otra partícula se mueve de manera que su posición viene dada por $h (t) = s (t) - t .$ Explique por qué debe haber un valor c para $2 < c < 5$ de manera que $h (c) = 0 .$

152.

[T] Utilice el enunciado “el coseno de t es igual a t al cubo”.

Escriba una ecuación matemática del enunciado.
Demuestre que la ecuación de la parte a. tiene al menos una solución real.
Utilice una calculadora para encontrar un intervalo de longitud 0,01 que contenga una solución.

153.

Aplicar el TVI para determinar si $2^{x} = x^{3}$ tiene una solución en uno de los intervalos $[1,25, 1,375]$ o $[1,375, 1,5] .$ Explique brevemente su respuesta para cada intervalo.

154.

Consideremos el gráfico de la función $y = f (x)$ que se muestra en el siguiente gráfico.

Halle todos los valores para los que la función es discontinua.
Para cada valor de la parte a., indique por qué no se aplica la definición formal de continuidad.
Clasifique cada discontinuidad como de salto, removible o infinita.

155.

Supongamos que $f (x) = {\begin{matrix} 3 x, x > 1 \\ x^{3}, x < 1 \end{matrix} .$

Dibuje el gráfico de f.
¿Es posible encontrar un valor k tal que $f (1) = k,$ que hace que $f (x)$ continua para todos los números reales? Explique brevemente.

156.

Supongamos que $f (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}$ para $x \neq - 1, 1 .$

Dibuje el gráfico de f.
¿Es posible encontrar valores $k_{1}$ y $k_{2}$ de manera que $f (–1) = k_{1}$ y $f (1) = k_{2},$ y eso hace a $f (x)$ continua para todos los números reales? Explique brevemente.

157.

Dibuje el gráfico de la función $y = f (x)$ con las propiedades i. hasta la vi.

El dominio de f es $(− \infty, + \infty) .$
f tiene una discontinuidad infinita en $x = −6 .$
$f (−6) = 3$
$\underset{x \to {−3}^{-}}{lím} f (x) = \underset{x \to {−3}^{+}}{lím} f (x) = 2$
$f (−3) = 3$
f es continua por la izquierda pero no por la derecha en $x = 3 .$
$\underset{x \to - \infty}{lím} f (x) = − \infty$ y $\underset{x \to + \infty}{lím} f (x) = + \infty$

158.

Dibuje el gráfico de la función $y = f (x)$ con las propiedades i. hasta la iv.

El dominio de f es $[0, 5] .$
$\underset{x \to 1^{+}}{lím} f (x)$ y $\underset{x \to 1^{-}}{lím} f (x)$ existen y son iguales.
$f (x)$ es continua por la izquierda pero no es continua en $x = 2,$ y continua por la derecha pero no es continua en $x = 3 .$
$f (x)$ tiene una discontinuidad removible en $x = 1,$ una discontinuidad de salto en $x = 2,$ y se mantienen los siguientes límites $\underset{x \to 3^{-}}{lím} f (x) = − \infty$ y $\underset{x \to 3^{+}}{lím} f (x) = 2 .$

En los siguientes ejercicios, supongamos que $y = f (x)$ está definida para toda x. En cada descripción, dibuje un gráfico con la propiedad indicada.

159.

Discontinua en $x = 1$ con la $\underset{x \to −1}{lím} f (x) = –1$ y $\underset{x \to 2}{lím} f (x) = 4$

160.

Discontinua en $x = 2$ pero continua en otras partes con $\underset{x \to 0}{lím} f (x) = \frac{1}{2}$

Determine si cada una de las afirmaciones dadas es verdadera. Justifique su respuesta con una explicación o un contraejemplo.

161.

$f (t) = \frac{2}{e^{t} - e^{- t}}$ es continua en todas partes.

162.

Si los límites izquierdo y derecho de $f (x)$ cuando $x \to a$ existen y son iguales, entonces f no puede ser discontinua en $x = a .$

163.

Si una función no es continua en un punto, entonces no está definida en ese punto.

164.

Según el TVI, $cos x - sen x - x = 2$ tiene una solución en el intervalo $[−1, 1] .$

165.

Si $f (x)$ es continua, de manera que $f (a)$ y $f (b)$ tienen signos opuestos, entonces $f (x) = 0$ tiene exactamente una solución en $[a, b] .$

166.

La función $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 1}$ es continua en el intervalo $[0, 3] .$

167.

Si $f (x)$ es continua en todas partes y $f (a), f (b) > 0,$ entonces no hay raíz de $f (x)$ en el intervalo $[a, b] .$

[T] Los siguientes problemas toman en cuenta la forma escalar de la ley de Coulomb, que describe la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales, como los electrones. Viene dada por la ecuación $F (r) = k_{e} \frac{| q_{1} q_{2} |}{r^{2}},$ donde $k_{e}$ es la constante de Coulomb, $q_{i}$ son las magnitudes de las cargas de las dos partículas, y r es la distancia entre las dos partículas.

168.

Para simplificar el cálculo de un modelo con muchas partículas que interactúan, después de cierto valor umbral $r = R,$ aproximamos F a cero.

Explique el razonamiento físico de esta suposición.
¿Cuál es la ecuación de fuerza?
Evalúe la fuerza F utilizando tanto la ley de Coulomb como nuestra aproximación, suponiendo que dos protones con una magnitud de carga de $1,6022 \times 10^{−19} culombios (C),$ y la constante de Coulomb $k_{e} = 8,988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2}$ están a 1 m de distancia. Además, suponga que $R < 1 m .$ ¿Cuánta inexactitud genera nuestra aproximación? ¿Es razonable nuestra aproximación?
¿Existe algún valor finito de R para el que este sistema siga siendo continuo en R?

169.

En vez de hacer que la fuerza sea 0 en R, dejamos que la fuerza sea 10⁻²⁰ para $r \geq R .$ Supongamos dos protones, que tienen una magnitud de carga $1,6022 \times 10^{−19} C,$ y la constante de Coulomb $k_{e} = 8,988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2} .$ ¿Existe un valor R que pueda hacer que este sistema sea continuo? Si es así, hállelo.

Recuerde la discusión sobre las naves espaciales del inicio del capítulo. Los siguientes problemas analizan el lanzamiento de un cohete desde la superficie de la Tierra. La fuerza de gravedad sobre el cohete viene dada por $F (d) = - m k / d^{2},$ donde m es la masa del cohete, d es la distancia del cohete al centro de la Tierra y k es una constante.

170.

[T] Determine el valor y las unidades de k dado que la masa del cohete es de 3 millones de kg. (Pista: La distancia del centro de la Tierra a su superficie es de 6378 km).

171.

[T] A partir de cierta distancia D, el efecto gravitatorio de la Tierra se hace bastante despreciable, por lo que podemos aproximar la función de fuerza mediante $F (d) = {\begin{cases} - \frac{m k}{d^{2}} & si d < D \\ 10.000 & si d \geq D \end{cases} .$ Usando el valor de k del ejercicio anterior, calcule la condición necesaria D tal que la función de fuerza permanezca continua.

172.

A medida que el cohete se aleja de la superficie de la Tierra, hay una distancia D en la que el cohete pierde parte de su masa, puesto que ya no necesita el exceso de combustible almacenado. Podemos escribir esta función como $F (d) = {\begin{cases} - \frac{m_{1} k}{d^{2}} si d < D \\ - \frac{m_{2} k}{d^{2}} si d \geq D \end{cases} .$ ¿Existe un valor D tal que esta función sea continua, suponiendo $m_{1} \neq m_{2} ?$

Demuestre que las siguientes funciones son continuas en todas partes

173.

$f (θ) = sen θ$

174.

$g (x) = | x |$

175.

¿Dónde es $f (x) = {\begin{cases} 0 si x es irracional \\ 1 si x es racional \end{cases}$ es continua?

2.4 Continuidad

Continuidad en un punto

Estrategia para la resolución de problemas: Determinación de la continuidad en un punto

Determinación de la continuidad en un punto, condición 1

Solución

Determinación de la continuidad en un punto, condición 2

Solución

Determinación de la continuidad en un punto, condición 3

Solución

Continuidad de polinomios y funciones racionales

Prueba

Continuidad de una función racional

Solución

Tipos de discontinuidades

Clasificar una discontinuidad

Solución

Clasificar una discontinuidad

Solución

Clasificar una discontinuidad

Solución

Continuidad en un intervalo

Continuidad en un intervalo

Solución

Continuidad en un intervalo

Solución

Teorema de la función compuesta

Límite de una función coseno compuesta

Solución

Continuidad de las funciones trigonométricas

Prueba

El teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio

Aplicación del teorema del valor intermedio

Solución

¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio?

Solución

¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio?

Solución

Sección 2.4 ejercicios