Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.1.1 Describir el problema de la tangente y cómo condujo a la idea de la derivada.
2.1.2 Explicar cómo interviene la idea de límite en la resolución del problema de la tangente.
2.1.3 Reconocer una tangente a una curva en un punto como límite de líneas secantes.
2.1.4 Identificar la velocidad instantánea como el límite de la velocidad media en un pequeño intervalo de tiempo.
2.1.5 Describir el problema del área y cómo se resolvió con la integral.
2.1.6 Explicar cómo interviene la idea de límite en la resolución del problema de área.
2.1.7 Reconocer cómo las ideas de límite, derivada e integral condujeron a los estudios de series infinitas y al cálculo multivariable.

A medida que nos embarcamos en el estudio del cálculo, veremos cómo su desarrollo surgió a partir de soluciones comunes a problemas prácticos en áreas como la física de la ingeniería, como el problema del viaje espacial planteado en el inicio del capítulo. Dos problemas clave condujeron a la formulación inicial del cálculo: (1) el problema de la tangente, o cómo determinar la pendiente de una línea tangente a una curva en un punto; y (2) el problema del área, o cómo determinar el área bajo una curva.

El problema de la tangente y el cálculo diferencial

La tasa de cambio es uno de los conceptos más importantes del cálculo. Comenzamos nuestra investigación de las tasas de cambio observando los gráficos de las tres líneas $f (x) = –2 x - 3, g (x) = \frac{1}{2} x + 1,$ y $h (x) = 2,$ se muestra en la Figura 2.2.

Se muestran tres gráficos de diferentes funciones lineales. El primero es f(x) = -2x - 3, con pendiente de -2 e intersección de -3. El segundo es g(x) = x / 2 + 1, con pendiente de 1/2 e intersección de 1. El tercero es h(x) = 2, con pendiente 0 e intersección 2. La tasa de cambio de cada uno es constante, como lo determina la pendiente.

Figura 2.2 La tasa de cambio de una función lineal es constante en cada una de estos tres gráficos, con la constante determinada por la pendiente.

A medida que nos movemos de izquierda a derecha a lo largo del gráfico de $f (x) = –2 x - 3,$ vemos que el gráfico disminuye a una tasa constante. Por cada 1 unidad que nos movemos hacia la derecha a lo largo del eje x, la coordenada y disminuye en 2 unidades. Esta tasa de cambio está determinada por la pendiente (-2) de la línea. Del mismo modo, la pendiente de 1/2 en la función $g (x)$ nos dice que por cada cambio en x de 1 unidad hay un cambio correspondiente en y de 1/2 unidad. La función $h (x) = 2$ tiene una pendiente de cero, lo que indica que los valores de la función permanecen constantes. Vemos que la pendiente de cada función lineal indica la tasa de cambio de la función.

Compare los gráficos de estas tres funciones con el gráfico de $k (x) = x^{2}$ (Figura 2.3). El gráfico de $k (x) = x^{2}$ empieza por la izquierda disminuyendo rápidamente, luego empieza a disminuir más lentamente y a nivelarse finalmente empieza a aumentar; lentamente al principio, seguido por una tasa de aumento creciente a medida que se mueve hacia la derecha. A diferencia de una función lineal, ningún número representa la tasa de cambio de esta función. Preguntamos con toda naturalidad: ¿cómo se mide la tasa de cambio de una función no lineal?

Un gráfico de la parábola k(x) = x^2, que se abre y tiene su vértice en el origen.

Figura 2.3 La función

k (x) = x^{2}

no tiene una tasa de cambio constante.

Podemos aproximar la tasa de cambio de una función $f (x)$ en un punto $(a, f (a))$ en su gráfico tomando otro punto $(x, f (x))$ en el gráfico de $f (x),$ dibujando una línea a través de los dos puntos y calculando la pendiente de la línea resultante. Tal línea se llama línea secante. La Figura 2.4 muestra una línea secante a una función $f (x)$ en un punto $(a, f (a)) .$

Un gráfico que muestra una función curva genérica que pasa por los puntos (0,0), (a, fa.) y (x, f(x)). Por los puntos (a, fa.) y (x, f(x)) se traza una línea recta llamada línea secante que pasa por debajo de la función curva entre a y x y que pasa por encima de la función curva en valores mayores que x o menores que a. La función curva y la línea secante se cruzan de nuevo en algún punto del tercer cuadrante. La pendiente de la línea secante es ( f(x) - fa. ) / (x - a).

Figura 2.4 La pendiente de una línea secante que pasa por un punto

(a, f (a))

estima la tasa de cambio de la función en el punto

(a, f (a)) .

Definimos formalmente una línea secante como sigue:

Definición

La secante de la función $f (x)$ que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(x, f (x))$ es la línea que pasa por estos puntos. Su pendiente está dada por

m_{sec} = \frac{f (x) - f (a)}{x - a} .

(2.1)

La exactitud de la aproximación de la tasa de cambio de la función con una línea secante depende de lo cerca que esté x de a. Como vemos en la Figura 2.5, si x está más cerca de a, la pendiente de la línea secante es una mejor medida de la tasa de cambio de $f (x)$ en a.

Este gráfico es el mismo que el de la línea secante anterior y el de la función curva genérica. Sin embargo, se añade otro punto x, esta vez trazado más cerca de a en el eje x. Así, se traza otra línea secante que pasa por los puntos (a, fa.) y el nuevo, más cercano (x, f(x)). La línea se mantiene mucho más cerca de la función curva genérica alrededor de (a, fa.). La pendiente de esta línea secante se ha convertido en una mejor aproximación a la tasa de cambio de la función genérica.

Figura 2.5 A medida que x se acerca a a, la pendiente de la línea secante se convierte en una mejor aproximación a la tasa de cambio de la función

f (x)

en a.

Las propias líneas secantes se acercan a una línea que se llama tangente a la función $f (x)$ en a (Figura 2.6). La pendiente de la línea tangente al gráfico en a mide la tasa de cambio de la función en a. Este valor también representa la derivada de la función $f (x)$ en a, o la tasa de cambio de la función en a. Esta derivada se denomina $f^{'} (a) .$ El cálculo diferencial es el campo del cálculo que se ocupa del estudio de las derivadas y sus aplicaciones.

Medios

Para ver una demostración interactiva de la pendiente de una línea secante que puede manipular usted mismo, visite esta miniaplicación (Nota: Este sitio requiere un plugin de Java para el navegador): Visión de las matemáticas.

Este gráfico es una continuación de los dos anteriores. Esta vez, el gráfico contiene la función curva, las dos líneas secantes y una línea tangente. A medida que x se acerca a a, las líneas secantes se acercan a la línea tangente.

Figura 2.6 Resolver el problema de la tangente: a medida que x se acerca a a, las líneas secantes se acercan a la línea tangente.

El Ejemplo 2.1 ilustra cómo calcular las pendientes de las líneas secantes. Estas pendientes estiman la pendiente de la línea tangente o, lo que es lo mismo, la tasa de cambio de la función en el punto en el que se calculan las pendientes.

Ejemplo 2.1

Cálculo de las pendientes de las líneas secantes

Estime la pendiente de la línea tangente (tasa de cambio) a $f (x) = x^{2}$ en $x = 1$ calculando las pendientes de las líneas secantes que pasan por $(1, 1)$ y cada uno de los siguientes puntos del gráfico de $f (x) = x^{2} .$

$(2, 4)$ grandes.
$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

Solución

Utilice la fórmula de la pendiente de una línea secante a partir de la definición.

$m_{sec} = \frac{4 - 1}{2 - 1} = 3$
$m_{sec} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{5}{2} = 2,5$

El punto de la parte b. está más cerca del punto $(1, 1),$ por lo que la pendiente de 2,5 está más cerca de la pendiente de la línea tangente. Una buena estimación de la pendiente de la tangente estaría en el rango de 2 a 2,5 (Figura 2.7).

Se muestran dos gráficos de la parábola f(x) = x^2. El primero tiene dibujado una línea secante que interseca la parábola en (1,1) y (2,4). El segundo tiene dibujada una línea secante que interseca la parábola en (1,1) y (3/2, 9/4). Estas líneas proporcionan aproximaciones sucesivas a la línea tangente a la función en (1,1).

Figura 2.7 Las líneas secantes a

f (x) = x^{2}

en

(1, 1)

hasta (a)

(2, 4)

y (b)

(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})

proporcionan aproximaciones sucesivas a la línea tangente a

f (x) = x^{2}

en

(1, 1) .

Punto de control 2.1

Estime la pendiente de la línea tangente (tasa de cambio) a $f (x) = x^{2}$ en $x = 1$ calculando las pendientes de las líneas secantes que pasan por $(1, 1)$ y el punto $(\frac{5}{4}, \frac{25}{16})$ en el gráfico de $f (x) = x^{2} .$

Continuamos nuestra investigación explorando una pregunta relacionada. Teniendo en cuenta que la velocidad puede ser considerada como la tasa de cambio de posición, supongamos que tenemos una función $s (t),$ que da la posición de un objeto a lo largo de un eje de coordenadas en un tiempo dado t. ¿Podemos utilizar estas mismas ideas para crear una definición razonable de la velocidad instantánea en un momento dado $t = a ?$ Comenzamos aproximando la velocidad instantánea con una velocidad media. En primer lugar, recuerde que la velocidad de un objeto que se desplaza a una velocidad constante es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que ha recorrido. Definimos la velocidad media de un objeto durante un periodo como el cambio de su posición dividido entre la duración del periodo.

Definición

Supongamos que $s (t)$ es la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en el tiempo t. La velocidad media del objeto en un intervalo de tiempo $[a, t]$ donde $a < t$ (o $[t, a]$ si $t < a)$ es

v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .

(2.2)

A medida que t se elige más cerca de a, la velocidad media se acerca más a la velocidad instantánea. Observe que calcular la velocidad media de una función de posición en un intervalo de tiempo es esencialmente lo mismo que calcular la pendiente de una línea secante a una función. Además, para calcular la pendiente de una línea tangente en un punto a, dejamos que los valores de x se acerquen a a en la pendiente de la línea secante. Del mismo modo, para calcular la velocidad instantánea en el tiempo a, dejamos que los valores de t se acerquen a a en la velocidad media. Este proceso de dejar que x o t se acerquen a a en una expresión se llama tomar un límite. Por lo tanto, podemos definir la velocidad instantánea de la siguiente manera.

Definición

Para una función de posición $s (t),$ la velocidad instantánea en un tiempo $t = a$ es el valor al que se acercan las velocidades promedio en intervalos de la forma $[a, t]$ y $[t, a]$ a medida que los valores de t se acercan a a, siempre que dicho valor exista.

El Ejemplo 2.2 ilustra este concepto de límites y velocidad media.

Ejemplo 2.2

Cálculo de la velocidad media

Se deja caer una roca desde una altura de 64 pies. Se determina que su altura (en pies) sobre el suelo t segundos después (para $0 \leq t \leq 2)$ está dada por $s (t) = –16 t^{2} + 64 .$ Calcule la velocidad media de la roca en cada uno de los intervalos de tiempo dados. Utilice esta información para adivinar la velocidad instantánea de la roca en el tiempo $t = 0,5 .$

$[0,49, 0,5]$
$[0,5, 0,51]$

Solución

Sustituya los datos en la fórmula para la definición de la velocidad media.

$v_{ave} = \frac{s (0,5) - s (0,49)}{0,5 - 0,49} = −15,84$
$v_{ave} = \frac{s (0,51) - s (0,5)}{0,51 - 0,5} = −16,16$

La velocidad instantánea está entre -15,84 y -16,16 ft/s. Una buena estimación podría ser -16 ft/s.

Punto de control 2.2

Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de manera que su posición en el tiempo t está dada por $s (t) = t^{3} .$ Estime su velocidad instantánea en el tiempo $t = 2$ calculando su velocidad media en el intervalo de tiempo $[2, 2,001] .$

El problema del área y el cálculo integral

Ahora nos centramos en una pregunta clásica del cálculo. Muchas cantidades en física, por ejemplo, las cantidades de trabajo, pueden interpretarse como el área bajo una curva. Esto nos lleva a plantear la pregunta: ¿cómo podemos calcular el área entre el gráfico de una función y el eje x en un intervalo (Figura 2.8)?

Se muestra un gráfico de una función curva genérica f(x) con forma de colina en el cuadrante uno. El área bajo la función está sombreada sobre el eje x y entre x = a y x = b.

Figura 2.8 El problema del área: ¿cómo calculamos el área de la región sombreada?

Al igual que en la respuesta a nuestras preguntas anteriores sobre la velocidad, primero intentamos aproximar la solución. Aproximamos el área dividiendo el intervalo $[a, b]$ en intervalos más pequeños en forma de rectángulo. La aproximación del área proviene de la suma de las áreas de estos rectángulos (Figura 2.9).

El gráfico es el mismo que el de la imagen anterior, con una diferencia. En lugar del área completamente sombreada bajo la función curva, el intervalo [a, b] se divide en intervalos más pequeños en forma de rectángulos. Los rectángulos tienen el mismo ancho pequeño. La altura de cada rectángulo es la altura de la función en el punto medio de la base de ese rectángulo específico.

Figura 2.9 El área de la región bajo la curva se aproxima sumando las áreas de los rectángulos delgados.

A medida que los anchos de los rectángulos se hacen más pequeños (se acercan a cero), las sumas de las áreas de los rectángulos se acercan al área entre el gráfico de $f (x)$ y el eje x en el intervalo $[a, b] .$ Una vez más, nos encontramos con un límite. Los límites de este tipo sirven de base para la definición de la integral definida. El cálculo integral es el estudio de las integrales y sus aplicaciones.

Ejemplo 2.3

Estimación mediante rectángulos

Estime el área entre el eje x y el gráfico de $f (x) = x^{2} + 1$ en el intervalo $[0, 3]$ utilizando los tres rectángulos que se muestran en la Figura 2.10.

Un gráfico de la parábola f(x) - x^2 + 1 dibujado en papel cuadriculado con todas las unidades indicadas. Los rectángulos completamente contenidos bajo la función y sobre el eje x en el intervalo [0,3] están sombreados. Esta estrategia establece las alturas de los rectángulos como la menor de las dos esquinas que podrían intersecarse con la función. Por ello, los rectángulos son más cortos que la altura de la función.

Figura 2.10 El área de la región bajo la curva de

f (x) = x^{2} + 1

se puede estimar mediante rectángulos.

Solución

Las áreas de los tres rectángulos son 1 unidad², 2 unidad² y 5 unidad². Utilizando estos rectángulos, nuestra estimación de área es de 8 unidades².

Punto de control 2.3

Estime el área entre el eje x y el gráfico de $f (x) = x^{2} + 1$ en el intervalo $[0, 3]$ utilizando los tres rectángulos que se muestran aquí:

Un gráfico de la misma parábola f(x) = x^2 + 1, pero con una estrategia de sombreado diferente sobre el intervalo [0,3]. Esta vez, los rectángulos sombreados reciben la altura de la esquina más alta que podría intersecarse con la función. Así, los rectángulos superan la altura de la función.

Otros aspectos del cálculo

Hasta ahora, hemos estudiado funciones de una sola variable. Estas funciones pueden representarse visualmente mediante gráficos en dos dimensiones; sin embargo, no hay ninguna razón de peso para restringir nuestra investigación a dos dimensiones. Supongamos, por ejemplo, que en vez de determinar la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas queremos determinar la velocidad de una roca disparada desde una catapulta en un momento dado, o de un avión que se mueve en tres dimensiones. Tal vez queramos graficar funciones de valor real de dos variables o determinar volúmenes de sólidos del tipo que se muestra en la Figura 2.11. Estos son solo algunos de los tipos de preguntas que pueden plantearse y responderse utilizando el cálculo multivariable. Informalmente, el cálculo multivariable puede caracterizarse como el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables. Sin embargo, antes de explorar estas y otras ideas, primero debemos sentar las bases para el estudio del cálculo en una variable explorando el concepto de límite.

Un diagrama en un espacio tridimensional, sobre los ejes x, y y z donde z = f(x,y). La base es el eje x,y, y la altura es el eje z. La base es un rectángulo contenido en el plano del eje x,y. La parte superior es una superficie de altura cambiante con esquinas situadas directamente sobre las del rectángulo en el plano x,y. El punto más alto está sobre la esquina en x=0, y=0. El punto más bajo está en la esquina en algún lugar del primer cuadrante del plano x,y. Los otros dos puntos tienen aproximadamente la misma altura y están situados por encima de las esquinas en el eje x y en el eje y. Se dibujan líneas que conectan las esquinas del rectángulo con las de la superficie.

Figura 2.11 Podemos utilizar el cálculo multivariable para calcular el volumen entre una superficie definida por una función de dos variables y un plano.

Sección 2.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, los puntos $P (1, 2)$ y $Q (x, y)$ están en el gráfico de la función $f (x) = x^{2} + 1 .$

1.

[T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q, el punto $Q (x, y),$ y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

x	y	$Q (x, y)$	m_sec
1,1	a.	e.	i.
1,01	b.	f.	j.
1,001	c.	g.	k.
1,0001	d.	h.	l.

2.

Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en $x = 1 .$

3.

Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P. Grafique $f (x)$ y la línea tangente.

En los siguientes ejercicios, los puntos $P (1, 1)$ y $Q (x, y)$ están en el gráfico de la función $f (x) = x^{3} .$

4.

[T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q, el punto $Q (x, y),$ y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

x	y	$Q (x, y)$	m_sec
1,1	a.	e.	i.
1,01	b.	f.	j.
1,001	c.	g.	k.
1,0001	d.	h.	l.

5.

Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en $x = 1 .$

6.

Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P. Grafique $f (x)$ y la línea tangente.

En los siguientes ejercicios, los puntos $P (4, 2)$ y $Q (x, y)$ están en el gráfico de la función $f (x) = \sqrt{x} .$

7.

[T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q, el punto $Q (x, y),$ y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

x	y	$Q (x, y)$	m_sec
4,1	a.	e.	i.
4,01	b.	f.	j.
4,001	c.	g.	k.
4,0001	d.	h.	l.

8.

Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en $x = 4 .$

9.

Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P.

En los siguientes ejercicios, los puntos $P (1,5, 0)$ y $Q (ϕ, y)$ están en el gráfico de la función $f (ϕ) = cos (π ϕ) .$

10.

[T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q, el punto $Q (φ, y),$ y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

x	y	$Q (ϕ, y)$	m_sec
1,4	a.	e.	i.
1,49	b.	f.	j.
1,499	c.	g.	k.
1,4999	d.	h.	l.

11.

Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en $φ = 1,5 .$

12.

Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P.

En los siguientes ejercicios, los puntos $P (–1, –1)$ y $Q (x, y)$ están en el gráfico de la función $f (x) = \frac{1}{x} .$

13.

[T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q, el punto $Q (x, y),$ y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

x	y	$Q (x, y)$	m_sec
−1,05	a.	e.	i.
−1,01	b.	f.	j.
−1,005	c.	g.	k.
−1,001	d.	h.	l.

14.

Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en $x = −1 .$

15.

Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P.

En los siguientes ejercicios, la función de posición de una bola lanzada desde lo alto de un edificio de 200 metros de altura está dada por $s (t) = 200 - 4,9 t^{2},$ donde la posición s se mide en metros y el tiempo t se mide en segundos. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

16.

[T] Calcule la velocidad media de la pelota en los intervalos de tiempo dados.

$[4,99, 5]$
$[5, 5,01]$
$[4,999, 5]$
$[5, 5,001]$

17.

Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea de la pelota en $t = 5$ seg.

En los siguientes ejercicios, considere una piedra lanzada al aire desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 15 m/s. Su altura en metros en el tiempo t segundos es $h (t) = 15 t - 4,9 t^{2} .$

18.

[T] Calcule la velocidad media de la piedra en los intervalos de tiempo dados.

$[1, 1,05]$
$[1, 1,01]$
$[1, 1,005]$
$[1, 1,001]$

19.

Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea de la piedra en $t = 1$ seg.

En los siguientes ejercicios, considere un cohete lanzado al aire que luego regresa a la Tierra. La altura del cohete en metros está dada por $h (t) = 600 + 78,4 t - 4,9 t^{2},$ donde t se mide en segundos.

20.

[T] Calcule la velocidad media del cohete en los intervalos de tiempo dados.

$[9, 9,01]$
$[8,99, 9]$
$[9, 9,001]$
$[8,999, 9]$

21.

Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea del cohete en $t = 9$ seg.

En los siguientes ejercicios, considere que un atleta corre los 40 metros planos. La posición del atleta está dada por $d (t) = \frac{t^{3}}{6} + 4 t,$ donde d es la posición en metros y t es el tiempo transcurrido, medido en segundos.

22.

[T] Calcule la velocidad media del corredor en los intervalos de tiempo dados.

$[1,95, 2,05]$
$[1,995, 2,005]$
$[1,9995, 2,0005]$
$[2, 2,00001]$

23.

Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea del corredor en $t = 2$ seg.

En los siguientes ejercicios, considere la función $f (x) = | x | .$

24.

Dibuje el gráfico de f en el intervalo $[−1, 2]$ y sombree la región por encima del eje x.

25.

Utilice el ejercicio anterior para calcular el valor aproximado del área entre el eje x y el gráfico de f en el intervalo $[−1, 2]$ utilizando rectángulos. Para los rectángulos, utilice las unidades cuadradas y aproxime tanto por encima como por debajo de las líneas. Utilice la geometría para hallar la respuesta exacta.

En los siguientes ejercicios, considere la función $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} .$ (Pista: Se trata de la mitad superior de un círculo de radio 1 situado en $(0, 0)).$

26.

Dibuje el gráfico de f en el intervalo $[−1, 1] .$

27.

Utilice el ejercicio anterior para calcular el área aproximada entre el eje x y el gráfico de f en el intervalo $[−1, 1]$ utilizando rectángulos. Para los rectángulos, utilice cuadrados de 0,4 por 0,4 unidades y aproxime tanto por encima como por debajo de las líneas. Utilice la geometría para hallar la respuesta exacta.

En los siguientes ejercicios, considere la función $f (x) = − x^{2} + 1 .$

28.

Dibuje el gráfico de f en el intervalo $[−1, 1] .$

29.

Aproxime el área de la región entre el eje x y el gráfico de f en el intervalo $[−1, 1] .$

2.1 Un repaso previo del cálculo

El problema de la tangente y el cálculo diferencial

Cálculo de las pendientes de las líneas secantes

Solución

Cálculo de la velocidad media

Solución

El problema del área y el cálculo integral

Estimación mediante rectángulos

Solución

Otros aspectos del cálculo

Sección 2.1 ejercicios