Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

310.

Una función es siempre biunívoca.

311.

$f \circ g = g \circ f,$ asumiendo que f y g son funciones.

312.

Una relación que supera las pruebas de línea horizontal y vertical es una función biunívoca.

313.

Una relación que pasa la prueba de la línea horizontal es una función.

En los siguientes problemas, indique el dominio y el rango de las funciones dadas:

$f = x^{2} + 2 x - 3, g = ln (x - 5), h = \frac{1}{x + 4}$

314.

h

315.

g

316.

$h \circ f$

317.

$g \circ f$

Calcule el grado, la intersección y y los ceros de las siguientes funciones polinómicas.

318.

$f (x) = 2 x^{2} + 9 x - 5$

319.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x$

Simplifique las siguientes expresiones trigonométricas.

320.

$\frac{{tan}^{2} x}{{sec}^{2} x} + {cos}^{2} x$

321.

${cos}^{2} x - {sen}^{2} x$

Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo $θ = [−2 π, 2 π]$ de manera exacta.

322.

$6 {cos}^{2} x - 3 = 0$

323.

${sec}^{2} x - 2 sec x + 1 = 0$

Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas.

324.

$5^{x} = 16$

325.

${log}_{2} (x + 4) = 3$

¿Son las siguientes funciones biunívocas sobre su dominio de existencia? ¿Tiene la función una inversa? Si es así, halle la inversa $f^{−1} (x)$ de la función. Justifique su respuesta.

326.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

327.

$f (x) = \frac{1}{x}$

En los siguientes problemas, determine el mayor dominio en el que la función es biunívoca y halle la inversa en ese dominio.

328.

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

329.

$f (x) = x^{2} + 3 x + 4$

330.

Un automóvil corre a lo largo de una pista circular con un diámetro de 1 milla. Un entrenador situado en el centro del círculo marca su progreso cada 5 segundos. Después de 5 segundos, el entrenador tiene que girar 55° para seguir el ritmo del automóvil. ¿A qué velocidad viaja el automóvil?

En los siguientes problemas, piense en el propietario de un restaurante que quiere vender camisetas que anuncien su marca. Él recuerda que hay un costo fijo y un costo variable, aunque no recuerda los valores. Sí sabe que la compañía de impresión de camisetas cobra 440 dólares por 20 camisetas y 1.000 dólares por 100 camisetas.

331.

a. Halle la ecuación $C = f (x)$ que describa el costo total en función del número de camisetas y b. determine cuántas camisetas debe vender para alcanzar el punto de equilibrio si vende las camisetas a 10 dólares cada una.

332.

a. Halle la función inversa $x = f^{−1} (C)$ y describa el significado de esta función. b. Determine cuántas camisas puede comprar el propietario si tiene 8000 dólares para gastar.

En los siguientes problemas, considere la población de Ocean City, Nueva Jersey, que es cíclica por temporada.

333.

La población puede ser modelada mediante $P (t) = 82,5 - 67,5 cos [(π / 6) t],$ donde $t$ es el tiempo en meses $(t = 0$ representa el 1.º de enero) y $P$ es la población (en miles). Durante un año, ¿en qué intervalos la población es inferior a 20.000 habitantes? ¿En qué intervalos la población supera los 140.000 habitantes?

334.

En realidad, lo más probable es que la población global aumente o disminuya a lo largo de cada año. Reformulemos el modelo como $P (t) = 82,5 - 67,5 cos [(π / 6) t] + t,$ donde $t$ es el tiempo en meses ( $t = 0$ representa el 1.º de enero) y $P$ es la población (en miles). ¿Cuándo es la primera vez que la población alcanza los 200.000 habitantes?

En los siguientes problemas, considere la datación radiométrica. Se encuentra un esqueleto humano en una excavación arqueológica. Se aplica la datación por carbono para determinar la antigüedad del esqueleto mediante la ecuación $y = e^{r t},$ donde $y$ es la proporción de radiocarbono aún presente en el material, $t$ es el número de años transcurridos y $r = −0,0001210$ es la tasa de decaimiento del radiocarbono.

335.

Si se espera que el esqueleto tenga 2.000 años de antigüedad, ¿qué porcentaje de radiocarbono debería estar presente?

336.

Halle la inversa de la ecuación de datación del carbono. ¿Qué significa? Si hay un 25 % de radiocarbono, ¿qué edad tiene el esqueleto?