1.2 Clases básicas de funciones

Funciones lineales y pendiente

El tipo de función más fácil de considerar es una función lineal. Las funciones lineales tienen la forma $f(x)=ax+b,$ donde $a$ y $b$ son constantes. En la Figura 1.15, vemos ejemplos de funciones lineales cuando $a$ es positivo, negativo y cero. Note que si $a>0,$ el gráfico de la línea sube a medida que $x$ aumenta. En otras palabras, $f(x)=ax+b$ aumenta en $\text{(−∞, ∞)}.$ Si $a<0,$ el gráfico de la línea cae a medida que $x$ aumenta. En este caso, $f(x)=ax+b$ disminuye en $\text{(−∞, ∞)}.$ Si $a=0,$ la línea es horizontal.

Figura 1.15 Estas funciones lineales son crecientes o decrecientes en $\text{(∞, ∞)}$ y una función es una línea horizontal.

Como sugiere la Figura 1.15, el gráfico de cualquier función lineal es una línea. Uno de los rasgos distintivos de una línea es su pendiente. La pendiente es el cambio en $y$ por cada cambio de unidad en $x.$ La pendiente mide tanto la inclinación como la dirección de una línea. Si la pendiente es positiva, la línea apunta hacia arriba cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es negativa, la línea apunta hacia abajo cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es cero, la línea es horizontal. Para calcular la pendiente de una línea, necesitamos determinar la relación del cambio en $y$ en función del cambio en $x.$ Para ello, elegimos dos puntos cualesquiera $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ en la línea y calculamos $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$ En la Figura 1.16, vemos que esta relación es independiente de los puntos elegidos.

Figura 1.16 Para cualquier función lineal, la pendiente $(y_2-y_1)\text{/}(x_2-x_1)$ es independiente de la elección de los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ en la línea.

Ahora examinamos la relación entre la pendiente y la fórmula de una función lineal. Consideremos la función lineal dada por la fórmula $f\left(x\right)=ax+b.$ Como lo comentamos, sabemos que el gráfico de una función lineal viene dado por una línea. Podemos utilizar nuestra definición de pendiente para calcular la pendiente de esta línea. Como se muestra, podemos determinar la pendiente calculando $(y_2-y_1)\text{/}(x_2-x_1)$ para cualquier punto $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ en la recta. Al evaluar la función $f$ en $x=0,$ vemos que $(0,b)$ es un punto en esta línea. Al evaluar esta función en $x=1,$ vemos que $(1,a+b)$ también es un punto en esta línea. Por lo tanto, la pendiente de esta línea es

Hemos demostrado que el coeficiente $a$ es la pendiente de la línea. Podemos concluir que la fórmula $f(x)=ax+b$ describe una línea con pendiente $a.$ Además, como esta línea interseca con el eje $y$ en el punto $(0,b),$ vemos que la intersección $y$ para esta función lineal es $(0,b).$ Concluimos que la fórmula $f(x)=ax+b$ nos indica la pendiente, $a,$ y la intersección $y$, $(0,b),$ para esta línea. Dado que a menudo utilizamos el símbolo $m$ para denotar la pendiente de una línea, podemos escribir

para denotar la forma pendiente-intersección de una función lineal.

A veces conviene expresar una función lineal de diferentes maneras. Por ejemplo, supongamos que el gráfico de una función lineal pasa por el punto $(x_1,y_1)$ y la pendiente de la línea es $m.$ Puesto que cualquier otro punto $(x,f(x))$ en el gráfico de $f$ debe satisfacer la ecuación

esta función lineal puede expresarse escribiendo

Llamamos a esta ecuación la ecuación punto-pendiente de esa función lineal.

Como toda línea no vertical es el gráfico de una función lineal, los puntos de esa línea pueden describirse mediante las ecuaciones en su forma pendiente-intersección o punto-pendiente. Sin embargo, una línea vertical no representa el gráfico de una función y no puede expresarse de ninguna de estas formas. En cambio, una línea vertical se describe mediante la ecuación $x=k$ para alguna constante $k.$ Dado que ni la forma pendiente-intersección ni la forma punto-pendiente permiten líneas verticales, utilizamos la notación

donde $a,b$ son diferentes a cero, para denotar la forma estándar de una línea.

Ejemplo 1.12

Hallar la pendiente y las ecuaciones de las rectas

Consideremos la línea que pasa por los puntos $(11,\mathrm{–4})$ y $(\mathrm{-4},5),$ como se muestra en la Figura 1.17.

Figura 1.17 Hallar la ecuación de una función lineal con un gráfico que es una línea entre dos puntos dados.

1. Halle la pendiente de la línea.
2. Halle una ecuación para esta función lineal en la forma punto-pendiente.
3. Halle una ecuación para esta función lineal en la forma pendiente-intersección.

Solución

1. La pendiente de la línea es
   
   $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5-(\mathrm{–4})}{\mathrm{-4}-11}=-\frac{9}{15}=-\frac{3}{5}.$$
2. Para hallar una ecuación para la función lineal en su forma punto-pendiente, utilice la pendiente $m=\mathrm{-3}\text{/}5$ y elija cualquier punto de la línea. Si elegimos el punto $(11,\mathrm{–4}),$ obtenemos la ecuación
   
   $$f(x)+4=-\frac{3}{5}(x-11).$$
3. Para hallar una ecuación de la función lineal en la forma pendiente-intersección, resuelva la ecuación de la parte b. para $f(x).$ Cuando hacemos esto, obtenemos la ecuación
   
   $$f(x)=-\frac{3}{5}x+\frac{13}{5}.$$

Polinomios

Una función lineal es un tipo especial de una clase más general de funciones: los polinomios. Una función polinómica es cualquier función que pueda escribirse de la forma

para algún número entero $n\ge 0$ y las constantes $a_n,a_{n–1}\text{,…,}{a}_0,$ donde $a_n\ne 0.$ En el caso de que $n=0,$ permitimos $a_0=0;$ si $a_0=0,$ la función $f(x)=0$ se denomina función cero. El valor $n$ se denomina grado del polinomio; la constante $a_n$ se denomina coeficiente líder. Una función lineal de la forma $f\left(x\right)=mx+b$ es un polinomio de grado 1 si $m\ne 0$ y de grado 0 si $m=\; 0,0.$ Un polinomio de grado 0 también se llama función constante. Una función polinómica de grado 2 se llama función cuadrática. En particular, una función cuadrática tiene la forma $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c,$ donde $a\ne 0.$ Una función polinómica de grado $3$ se denomina función cúbica.

Funciones potencia

Algunas funciones polinómicas son funciones potencia. Una función potencia es cualquier función de la forma $f(x)=a{x}^b,$ donde $a$ y $b$ son números reales. El exponente en una función potencia puede ser cualquier número real, pero aquí consideramos el caso en que el exponente es un número entero positivo. (Más adelante estudiaremos otros casos). Si el exponente es un entero positivo, entonces $f(x)=a{x}^n$ es un polinomio. Si $n$ es par, entonces $f(x)=a{x}^n$ es una función par ya que $f(\text{−}\mathit{\text{x}})=a{(\text{−}\mathit{\text{x}})}^n=a{x}^n$ si $n$ es par. Si los valores de $n$ es impar, entonces $f(x)=a{x}^n$ es una función impar porque $f(\text{−}\mathit{\text{x}})=a{(\text{−}\mathit{\text{x}})}^n=\text{−}a{x}^n$ si $n$ es impar (Figura 1.18).

Figura 1.18 (a) Para cualquier número entero par $n,f(x)=a{x}^n$ es una función par. (b) Para cualquier número entero impar $n,f(x)=a{x}^n$ es una función impar.

Comportamiento en el infinito

Para determinar el comportamiento de una función $f$ a medida que sus valores de entrada se acercan al infinito, observamos los valores $f(x)$ a medida que las entradas, $x,$ se hacen más grandes. Para algunas funciones, los valores de $f(x)$ se acercan a un número finito. Por ejemplo, en la función $f\left(x\right)=2+1\text{/}x,$ los valores $1\text{/}x$ se acercan cada vez más a cero para todos los valores de $x$ a medida que se hacen más y más grandes. De esta función, decimos $\text{“}f(x)$ se acerca a dos como $x$ va al infinito", y escribimos $f\left(x\right)\to 2$ cuando $x\to \infty .$ La línea $y=2$ es una asíntota horizontal para la función $f\left(x\right)=2+1\text{/}x$ porque el gráfico de la función se aproxima a la línea a medida que $x$ se hace más grande.

En otras funciones, los valores $f(x)$ pueden no acercarse a un número finito, sino que pueden hacerse más grandes para todos los valores de $x$ a medida que se van haciendo más grandes. En ese caso, decimos que $\text{“}f(x)$ se acerca al infinito cuando $x$ se acerca al infinito", y escribimos $f\left(x\right)\to \infty$ cuando $x\to \infty .$ Por ejemplo, para la función $f\left(x\right)=3x^2,$ las salidas $f(x)$ se hacen más grandes a medida que los valores de entrada $x$ se hacen más grandes. Podemos concluir que la función $f(x)=3x^2$ se acerca al infinito cuando $x$ se acerca al infinito, y escribimos $3x^2\to \infty$ cuando $x\to \infty .$ El comportamiento mientras $x\to \text{−}\infty$ y el significado de $f\left(x\right)\to \text{−}\infty$ cuando $x\to \infty$ o $x\to \text{−}\infty$ pueden definirse de forma similar. Podemos describir lo que ocurre con los valores de $f(x)$ cuando $x\to \infty$ y dado que $x\to \text{−}\infty$ como el comportamiento final de la función.

Para entender el comportamiento final de las funciones polinómicas, podemos centrarnos en las funciones cuadráticas y cúbicas. El comportamiento de los polinomios de mayor grado puede analizarse de forma similar. Consideremos una función cuadrática $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c.$ Si $a>0,$ los valores $f\left(x\right)\to \infty$ cuando $x\to \text{±}\infty .$ Si $a<0,$ los valores $f\left(x\right)\to \text{−∞}$ como $x\to \text{±}\infty .$ Como el gráfico de una función cuadrática es una parábola, la parábola se abre hacia arriba si $a>0;$ la parábola se abre hacia abajo si $a<0.$ (Vea la Figura 1.19(a)).

Consideremos ahora una función cúbica $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d.$ Si $a>0,$ entonces $f\left(x\right)\to \infty$ cuando $x\to \infty$ y $f\left(x\right)\to \text{−∞}$ como $x\to \text{−∞}.$ Si $a<0,$ entonces $f\left(x\right)\to \text{−∞}$ como $x\to \infty$ y $f\left(x\right)\to \infty$ cuando $x\to \text{−∞}.$ Como podemos ver en ambos gráficos, el término principal del polinomio determina el comportamiento final (vea la Figura 1.19(b)).

Figura 1.19 (a) En una función cuadrática, si el coeficiente líder $a>0,$ la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de $a<0,$ la parábola se abre hacia abajo. (b) En una función cúbica $f,$ si el coeficiente líder $a>0,$ los valores $f\left(x\right)\to \infty$ cuando $x\to \infty$ y los valores $f\left(x\right)\to \text{−∞}$ como $x\to \text{−∞}.$ Si el coeficiente líder $a<0,$ lo opuesto es verdadero.

Modelos matemáticos

Una gran variedad de situaciones del mundo real puede describirse mediante modelos matemáticos. Un modelo matemático es aquel que simula situaciones de la vida real con ecuaciones matemáticas. Físicos, ingenieros, economistas y otros investigadores desarrollan modelos combinando la observación con datos cuantitativos para elaborar ecuaciones, funciones, gráficos y otras herramientas matemáticas que describen con precisión el comportamiento de diversos sistemas. Los modelos matemáticos son útiles porque ayudan a predecir resultados futuros. Algunos ejemplos de estos modelos son el estudio de la dinámica de la población, la investigación de los patrones climáticos y la predicción de las ventas de productos.

Como ejemplo, consideremos un modelo matemático que una empresa podría utilizar para describir sus ingresos por la venta de un artículo concreto. El importe de los ingresos $R$ que una empresa recibe por la venta de $n$ artículos vendidos a un precio de $p$ dólares por artículo se describe mediante la ecuación $R=p.n.$ La empresa quiere saber cómo cambian las ventas al variar el precio del artículo. Supongamos que los datos de la Tabla 1.6 muestran el número de unidades que vende una empresa en función del precio por artículo.

$\mathit{\text{p}}$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$
$\mathit{\text{n}}$	$\mathrm{19,4}$	$\mathrm{18,5}$	$\mathrm{16,2}$	$\mathrm{13,8}$	$\mathrm{12,2}$

Tabla 1.6 Número de unidades vendidas $n$ (en miles) en función del precio por unidad $p$ (en dólares)

En la Figura 1.20, vemos el gráfico del número de unidades vendidas (en miles) en función del precio (en dólares). De la forma del gráfico se desprende que el número de unidades vendidas es probablemente una función lineal del precio por artículo, y los datos pueden aproximarse por la función lineal $n=\mathrm{-1,04}p+26$ para $0\le p\le 25,$ donde $n$ predice el número de unidades vendidas en miles. Utilizando esta función lineal, los ingresos (en miles de dólares) pueden estimarse mediante la función cuadrática

$$R\left(p\right)=p.\left(\mathrm{-1,04}p+26\right)=\mathrm{-1,04}{p}^2+26p$$

para $0\le p\le 25.$ En el Ejemplo 1.15, utilizamos esta función cuadrática para predecir la cantidad de ingresos que recibe la empresa en función del precio que cobra por artículo. Obsérvese que no podemos concluir definitivamente el número real de unidades vendidas para valores de $p,$ para los que no se recogen datos. Sin embargo, teniendo en cuenta los otros valores de los datos y el gráfico mostrado, parece razonable que el número de unidades vendidas (en miles) si el precio cobrado es $p$ dólares puede acercarse a los valores predichos por la función lineal $n=\mathrm{-1,04}p+26.$

Figura 1.20 Los datos recogidos sobre el número de artículos vendidos en función del precio son aproximadamente lineales. Utilizamos la función lineal $n=\mathrm{-1,04}p+26$ para estimar esta función.

Ejemplo 1.15

Maximizando los ingresos

A una empresa le interesa predecir los ingresos que percibirá en función del precio que cobre por un determinado artículo. Utilizando los datos de la Tabla 1.6, la empresa utiliza la siguiente función cuadrática para modelar los ingresos $R$ (en miles de dólares) en función del precio por artículo $p\text{:}$

$$R\left(p\right)=p.\left(\mathrm{-1,04}p+26\right)=\mathrm{-1,04}{p}^2+26p$$

para $0\le p\le 25.$

1. Prediga los ingresos si la empresa vende el artículo a un precio de $p=\text{\$}5$ y $p=\text{\$}17.$
2. Halle los ceros de esta función e interprete el significado de los mismos.
3. Dibuje un gráfico de $R.$
4. Utilice el gráfico para determinar el valor de $p$ que maximiza los ingresos. Halle el máximo de ingresos.

Solución

1. Al evaluar la función de los ingresos en $p=5$ y $p=17,$ podemos concluir que
   
   $$\begin{array}{}\\ R(5)=\mathrm{-1,04}{(5)}^2+26(5)=104,\text{por lo que los ingresos}=\text{\$104.000;}\hfill \\ R(17)=\mathrm{-1,04}{(17)}^2+26(17)=\mathrm{141,44},\text{por lo que los ingresos}=\text{\$141.440.}\hfill \end{array}$$
2. Los ceros de esta función se pueden hallar resolviendo la ecuación $\mathrm{-1,04}{p}^2+26p=0.$ Al factorizar la expresión cuadrática, obtenemos $p\left(\mathrm{-1,04}p+26\right)=0.$ Las soluciones de esta ecuación vienen dadas por $p=0,25.$ Para estos valores de $p,$ los ingresos son nulos. Cuando $p=\text{\$}0,$ los ingresos son nulos porque la empresa está regalando su mercancía. Cuando $p=\text{\$}25,$ los ingresos son nulos porque el precio es demasiado alto, y nadie comprará ningún artículo.
3. Al saber que la función es cuadrática, sabremos que el gráfico es una parábola. Como el coeficiente líder es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Una propiedad de las parábolas es que son simétricas respecto al eje, por lo que como los ceros están en $p=0$ y $p=25,$ la parábola debe ser simétrica con respecto a la línea intermedia, o $p=\mathrm{12,5}.$
   
4. La función es una parábola con ceros en $p=0$ y $p=25,$ y es simétrica respecto a la línea $p=\mathrm{12,5},$ por lo que el máximo ingreso tiene lugar a un precio de $p=\text{\$}\mathrm{12,50}$ por artículo. A ese precio, los ingresos son $R\left(p\right)=\mathrm{-1,04}{\left(\mathrm{12,5}\right)}^2+26\left(\mathrm{12,5}\right)=\text{\$}162,500.$

Funciones algebraicas

Al permitir cocientes y potencias fraccionarias en las funciones polinómicas, creamos una clase más amplia de funciones. Una función algebraica es aquella que implica suma, resta, multiplicación, división, potencias racionales y raíces. Dos tipos de funciones algebraicas son las funciones racionales y las funciones raíz.

Al igual que los números racionales son cocientes de los enteros, las funciones racionales son cocientes de los polinomios. En particular, una función racional es cualquier función de la forma $f\left(x\right)=p(x)\text{/}q\left(x\right),$ donde $p(x)$ como $q(x)$ son polinomios. Por ejemplo,

son funciones racionales. Una función raíz es una función potencia de la forma $f\left(x\right)=x^{1\text{/}n},$ donde $n$ es un número entero positivo mayor que uno. Por ejemplo, $f(x)=x^{1\text{/}2}=\sqrt{x}$ es la función raíz cuadrada y $g\left(x\right)=x^{1\text{/}3}=\sqrt[3]{x}$ es la función raíz cúbica. Al posibilitar composiciones de funciones raíz y funciones racionales, podemos crear otras funciones algebraicas. Por ejemplo, $f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$ es una función algebraica.

Las funciones raíz $f\left(x\right)=x^{1\text{/}n}$ tienen características determinantes en función de si $n$ es par o impar. Para todos los enteros pares $n\ge 2,$ el dominio de $f\left(x\right)=x^{1\text{/}n}$ es el intervalo $[0,\infty ).$ Para todos los enteros impares $n\ge 1,$ el dominio de $f\left(x\right)=x^{1\text{/}n}$ es el conjunto de todos los números reales. Ya que $x^{1\text{/}n}={–\left(\text{−}\mathit{\text{x}}\right)}^{1\text{/}n}$ para los enteros impares $n,f\left(x\right)=x^{1\text{/}n}$ es una función impar si $n$ es impar. Observe los gráficos de las funciones raíz para diferentes valores de $n$ en la Figura 1.21.

Figura 1.21 (a) Si $n$ es uniforme, el dominio de $f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$ ¿es $\left[0,\infty \right).$ (b) Si $n$ es impar, el dominio de $f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$ ¿es $\left(\text{−∞},\infty \right)$ y la función $f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$ es una función impar.

Funciones trascendentales

Hasta ahora hemos hablado de las funciones algebraicas. Sin embargo, algunas funciones no pueden describirse mediante las operaciones algebraicas básicas. Estas funciones se conocen como funciones trascendentales porque se dice que "trascienden" o van más allá del álgebra. Las funciones trascendentales más comunes son las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas. La función trigonométrica relaciona las razones de dos lados de un triángulo rectángulo. Son $\mathrm{sen}x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\text{y}\csc x$ (Más adelante hablaremos de las funciones trigonométricas). Una función exponencial es la función de la forma $f\left(x\right)=b^x,$ donde la base $b>0,b\ne 1.$ Una función logarítmica es la función de la forma $f\left(x\right)={\log }_b(x)$ para alguna constante $b>0,b\ne 1,$ donde ${\log }_b\left(x\right)=y$ si y solo si $b^y=x.$ (Más adelante en el capítulo también hablaremos de las funciones exponenciales y logarítmicas).